Newみんなの算数講座31 Ｎ角形の公式集

算数ファンのみなさんこんにちは。
今回は平面図形のジャンルからＮ角形の公式集です。中学受験で使うのは〈Ｎ角形の内角の和〉〈Ｎ角形の外角の和〉〈正Ｎ角形の１つの内角の大きさ〉〈Ｎ角形の対角線の本数〉といったところでしょう。これらを覚えていないとさすがに図形の問題は戦えないですよ。

それではまずＮ角形の公式を紹介します。どれもしっかり頭にたたきこんでくださいね。公式の理由はあとで説明します。

使い方の例
Ｎ角形というのは多角形と同じ意味ですが、公式を用意するときはＮ角形としますね。五角形ならＮ＝５、六角形ならＮ＝６のように、Ｎに数をあてはめて計算します。Ｎは数値を変えられる代表の意味です。外角の和は一定の値だから計算する必要がありません。(外角の和は三角形でも十五角形でも六十角形でも360°で変わりません)
・八角形の内角の和 180×(８－２)＝180×６＝1080°
・正八角形の１つの内角 1080÷８＝135°
・八角形の対角線の本数 (８－３)×８÷２＝５×８÷２＝20本

では、いまの公式を使って計算した三角形から十二角形までの一覧表をどうぞ。この一覧表ってありそうであまりないと思います。僕は十二角形でやめましたが、がんばり屋さんの人はもう少し下まで作ってみてください。何角形まで続けたらギネスブックかな（笑）

さて大事なのは公式たちの理由ですね。「公式だから」は理由にならないですよ。それぞれちゃんと理由があります。では順番に説明していきますね。

内角の和について
下の図は六角形を４つの三角形に分割した様子ですが、このようにＮ角形は必ずＮ－２(個)の三角形に分割することができます。三角形の内角の和は180°だから、Ｎ角形の内角の和は180×(Ｎ－２)°になります。

外角の和について
外角というのは、内角を180°に延長した外側の角(緑色の角)を指します。下の図の六角形の場合、６つの頂点に６本の直線があり、合計すると180×６＝1080°です。ここから六角形の内角の和720°(白い角の合計)を引くと1080°－720°で外角の和は360°になります。
Ｎ角形の場合でも、180×Ｎ－180×(Ｎ－２)という式ができて、この式はＮコの180°から、Ｎより２コ少ない180°を引いているから、180°が２コ残って360°になります。このように外角の和は何角形に関係なく必ず360°です。

正Ｎ角形の１つの内角の大きさについて
ふたつの方法が使われます。
①正Ｎ角形はすべての角の大きさが等しいＮ角形だから、内角の和180×(Ｎ－２)°をＮで割ればよいです。
②外角の和(360°)をＮで割って１つの外角を先に求め、それを直線の180°から引くという方法もあります。問題の内容によってはこの〈第二公式〉の方が便利なことがあります。

対角線の本数について
下の図の六角形で、１つの頂点Ａに集まる対角線は３本です。頂点Ａから両隣りの頂点と自分自身の３つの頂点は対角線が引けません(×印)。Ｎ角形は１つの頂点にＮ－３(本)の対角線が集まっていて、これに頂点の数Ｎをかけると(Ｎ－３)×Ｎ　ただしこのままだと往復する対角線をダブッて数えているから、Ｎ角形の対角線の本数は(Ｎ－３)×Ｎ÷２(本)です。

以上Ｎ角形の公式とその理由でした。内角の和は180°ずつ増えますし、対角線の本数は２、３、４、５、…と増えていくなどきれいな法則もあります。六角形ぐらいまでは公式不要かもしれないです。ただ、Ｎの値が大きいときもありますから、やはり今回の公式は暗記しなくてはいけませんね。と言っても外角の和は一定値だし、「１つの内角①」は内角の和をＮで割るだけですから、暗記といっても３つの式だけです。他の教科に比べたら覚えることはそれほど多くない算数ですが、今回の式はスーパー重要ですから絶対に忘れないでください。

では今回の講座はこれにて終了しますね。次の講座はなるべく早めに書きます。楽しみに待っていてください。