Newみんなの算数講座44 数表シリーズ①三角数

こんにちは。今日も読みにきてくれてありがとうございます。
今回の講座44は、改訂しているニューみん算で４作目になる新作です。できるだけ元祖の講座を活かして読みやすく改訂したいのですが、元祖には問題だけ出していた回もあったんですね。ニューみん算ではその企画はやらないことにしたので旧44番は新作に差し替えました。

新作のテーマは44講座目で初となる数表です。与えられた数表の一部から規則性を見抜き、その規則性を大いに活用して設問に答えるタイプの問題ですね。もちろん設問で聞かれるのは与えられた数表にはのっていない部分だから、数表全体で変わらない規則を的確につかんで対処することが大事です。一つの規則だけでは不安なので、二つか三つの規則が見抜ければ十分戦えますね。では問題を出して解説するいつものパターンで進めましょう。

これと同じ数表はとてもよく出題されます。いくつか特長があるので、まずその特長を整理してみます。下の図を見ながら確認してください。
〈特長１〉オレンジ色の斜め線が示すように、１から始まる整数が左下から右上に上がるように配列されています。
〈特長２〉どのオレンジ色の斜め線の終点にも三角数と呼ばれる数が並んでいます。三角数は青い数字で示しました。新しい斜め線は三角数の次の数から始まります。三角数については下の囲みを読んでください。
〈特長３〉オレンジ色の斜め線にラインナンバーをつけると、ライン上のどの整数も「行と列の和」がラインナンバーより１大きくなります。たとえば３行４列の整数19はラインナンバー６上にあり「行と列の和」は３＋４＝７です。

では設問を考えていきましょう。
(1)
７行５列は「行と列の和」が12です。すると〈特長３〉よりラインナンバー11上にあることがわかります。ラインナンバー11の終点は１から11までたした和(三角数)の66です。７行目にある数は１行目の数より６小さいから、７行５列の数は66－６＝60です。
ラインナンバー10の終点55(１から10までの和)を使う手もあるでしょう。ラインナンバー10が55で終われば、ラインナンバー11は56から始まります。７行目にある数は11行目の数より４大きいから、７行５列の数は56＋４＝60です。
＊僕は66や55の場所から行に注目した解説を書きましたが、列に注目してもよいでしょう。どちらかに決めると混乱せずに済みますね。

(2)
数が大きくなっても同じように考えてください。12行18列は「行と列の和」が30です。すると〈特長３〉よりラインナンバー29上にあることがわかります。ラインナンバー29の終点は１から29までたした和(三角数)です。１から整数Ｎまでの和は次の公式を覚えておくとよいでしょう。
１からＮまでの整数の和＝(１＋Ｎ)×Ｎ÷２

１から29までたした和(三角数)は (１＋29)×29÷２＝435 です。12行目にある整数は１行目の整数より11小さいから、12行18列の整数は435－11＝424です。

(3)
前の２問と逆に数の位置を特定する設問です。
まず777に近い三角数を考えましょう。それにはある程度調べる作業が必要ですよ。上に書いた公式を使うと１から30までの和が465。これでは足りてませんね。１から40までの和が820。777を少し超えました。820から40を引くと１から39の和になってこれが780。777とはわずかな差だからこの情報が使えそうです。
〈特長２〉からラインナンバー39の終点が780です。ラインナンバー39の終点とは１行39列のことですね。あとは行を１増やし、列を１減らして近づいていくのが手堅いでしょう。
780→１行39列　779→２行38列　778→３行37列　777→４行36列
無事に答えを出すことができました。777は４行36列にあります。

メモ　777は三角数780に近かったですが、もう少し遠い場合はそこでも規則を見つけたいですね。最後に青で書いた部分をよく見てください。行と列の和はすべて40だし、その数と行の和はつねに781です。このことを使えば760の位置を聞かれても21行19列のように求めることができますね。

三角数を使う数表の問題、いかがでしたでしょうか。じつはこうした規則性の問題には唯一無二の解法はなく、僕が示した以外の規則もまだあるでしょう。たとえば１から真下に下げていくと１、２、４、７、11、…となっていて、これは間隔が１、２、３、４、…と増えています。１から右下に下げていけば１、５、13、25、…です。こちらは間隔が４、８、12、…という４の倍数です。このように数表には美しい規則が多く、どの規則を採用するかは悩ましいところもありますね。その中で僕が解説に書いた方法は「行と列の和」がラインナンバーより１大きいという関係がとてもわかりやすいと好評です。行と列がわかればラインナンバーがわかるし、ラインナンバーの終点はすべて三角数だから公式で簡単に求めることができますからね。同じ数表の問題はよく見かけますので、ぜひ覚えておいてほしいと思います。

では新作講座44はこのへんで終わりにしますね。これからも役に立つ算数講座を書き続けますから、ぜひお友だちやお知り合いに口頭でも流行りのSNSでもこの講座を宣伝してやってください。よろしくね。では次の講座でまた算数をいっしょにやりましょう！