Newみんなの算数講座66 切り口のレジュメ(後編)

今回の講座66は前回の前編に続いて立方体の切り口について解説します。まだ前編を読んでない方は、先に一つ前の講座65を読んでくださいね。

前編では、立方体を切断する問題が辺上に３点を与える理由、そのうちの２点をつなぐことができる場合とできない場合、平行な面に平行な線を引く手順などを解説しました。３つのレジュメと１つの反則がありましたね。前編はそこまでの知識で対処できる問題でしたが、今回はそれだけでは不十分なパターンです。ではそのパターンの問題を出しますね。

下の図５・図６について、与えられた３点をすべて含む平面で切断したとき、切り口はどのような図形になりますか？ もっともふさわしい図形の名前を答えてください。カラー表示の赤い点は立方体の頂点、青い点は立方体の各辺の中点、緑色の点は立方体の各辺の３等分点(下寄り)を表しています。

図５解説
まずＡとＰ、ＡとＱをつなぎます(レジュメ１)。ＰとＱはつなげないので、右側の正方形にＡＰの平行線ＱＳを、手前の正方形にＡＱの平行線ＰＲを引きます(レジュメ２)。ＲとＳは同じ面上の点なのでつなぐことができます。
図５の切り口はＡＰ＝ＡＱ、ＰＲ＝ＱＳで、さらにＡＰとＱＳ、ＡＱとＰＲが平行になっている左右対称な貝殻のような形をした五角形です。
＊特長のある五角形ですが特別な名前はないので、単に五角形と答えて大丈夫です。

くわしく
レジュメ４に書いたように、相似な三角形の辺の比から、ＲとＳが辺の中点であることが確認できます。
正方形の１辺の長さを３とすると、Ｐ、Ｑは辺の下寄りの３等分点だからＢＰ＝ＤＱ＝２、ＰＦ＝ＱＨ＝１です。
ＰＲとＡＱは平行だから△ＲＦＰと△ＡＤＱは相似な三角形で、
ＦＰ：ＤＱ＝ＲＦ：ＡＤ
わかっている数値をあてはめて １：２＝ＲＦ：３
比例式は内項と外項の積が等しいから ２×ＲＦ＝３
よってＲＦ＝３÷２＝1.5
この長さは正方形の１辺の長さの半分だから、ＲがＦＧの中点であることがわかります。このような計算は、切断後の立体の求積問題でとても重要な手がかりになります。
＊ＳがＧＨの中点であることも△ＳＨＱと△ＡＢＰの相似から同様にわかります。

図６解説
この切り口の作図にはレジュメ５の方針が必要です。辺を延ばし、面を広げることで切断を大きく捉えるようにするのです。与えられた３点はＰ、Ｑ、Ｒでした。ＰとＱをつないだあとは次のような方針で考えます。

ＰＱを両側に延長し、ＣＢの延長との交点をＸ、ＣＤの延長との交点をＹとします。(延長した線は水色で表示しました)
このように延長するとＸとＲは同じ面上の点となり、つなぐことができます。ＸとＲをつなぐ直線は、ＢＦの中点Ｕを通り、ＣＧの延長上のＺに到達します。ここで切り口の面がＵ、Ｒを通ることがわかりました。
＊切り口の通過点が立方体の各辺の中点になることは、各所にある三角形(△ＡＰＱ、△ＢＰＸなど)がどれも合同な直角二等辺三角形であることから確認できます。

次に平行になっている正方形に注目し、Ｒを通るＰＱの平行線ＲＴ、続いてＴを通るＰＵの平行線ＴＳを引きます。ここまでくればＳとＱは同じ面上にあるからつなげます。図６の切り口は、立方体の内側をひと回りするような、すべての辺の長さが等しい正六角形です。

くわしく
立方体を対角線ＡＣ(面ＡＥＧＣ)を境にして見ると、頂点Ｂの周辺と頂点Ｄの周辺が左右対称の作図になっていることが確認できると思います。対角線ＣＦ(面ＣＤＥＦ)を境に見れば、頂点Ｂの周辺と頂点Ｇの周辺が左右対称です。
また、この正六角形の切り口は、立方体を２つのまったく合同な立体に切り分けています。切り口の正六角形の前後にある立体は天地が逆になった同じ立体です。

切り口講座の後編、理解していただけたでしょうか？ 前編よりもやっかいな作図でしたが、貝殻型の五角形も正六角形もとてもきれいな切り口ですよね。最後に立方体の切り口としてよく出る図形を並べておきましょう。どのような３点が与えられればこのような切り口になるか？ 逆に考えてみるのも勉強になると思います。

立方体の切り口問題はけっこう出題されますからね。いろいろな３点の与えられ方に対応できるようにしてください。さらに発展させると、切断後に二つに分かれた立体について体積や表面積を考える問題がありますね。それについては新作予定表に組み込みましたからそのうち書いて発表したいと思います。

ではでは２回連続の切り口講座をこれで終わります。次回は少し前にもあったけど、元祖講座を不採用にして新作のNo.８です。百五減算(ひゃくごげんざん)というスペシャルな整数問題を出す予定です。大変な内容だから少し時間かかるかな。どうぞお楽しみに～(^^)/