NEWみんなの算数講座91 歯車の話

こんにちは。前回で節目の90講座に到達し、ここからは100講座へ向けて前進です。今回は歯車の話をしようと思います。

歯車を言葉で説明するとなると悩んでしまいます。ウィキペディアから説明を借りてきました。
〈歯車とは動力の伝達に用いられる機械の要素。英語ではギヤ〉
となってました。さすがウィキペディアは説明がシンプルで上手ですね。
もう少し意味をつけたすと、歯車の役割は、歯の数が違う歯車をかみ合わせることで、小さな力を大きな力に変更したり、スピードを速くしたり遅くしたりするということでしょう。身のまわりではクルマの部品に歯車が使われてそうです。最近は見なくなりましたが、ぜんまい式の時計を分解すると内側は歯車だらけでした。携帯電話の中にも歯車は使われているようですよ。歯車も小型化が進んでいて、今は１マイクログラム(＝100万分の1グラム)の歯車もあるのだそうです。

さていったい歯車がどのように算数の問題とつながるのでしょうか？
ではこれから３問の問題を通して、算数でよく出される歯車問題を知ってもらうことにしましょう。

基本問題から入りました。まず押さえてほしいことは、かみ合って回っている２つの歯車は、歯の数（イラストにはありませんが歯車のギザギザの数のことです）と回転数（同じ時間での）が逆比の関係になります。比を習っていない学年の人は、倍率が逆になると考えてくれても大丈夫です。

比で考えてみると、ＡとＢの歯の数の比は56：40。８で割って７：５です。
＊比の両側は０以外の同じ数で割ってよい

すると回転数は逆比の５：７になるから、Ａが20回転する時間で、Ｂは20÷５×７＝28回転することになります。

倍率で考えるなら、Ａの歯の数はＢの歯の数の56÷40＝56/40＝7/5（５分の７)倍です。すると回転数は倍率が反対になり、ＢがＡの7/5倍です。
Ａの回転数が20回だから、Ｂの回転数は20×7/5＝28回です。

大きい歯車は、歯の数は多いが動きが遅くてあまり回らず、小さい歯車は、歯の数は少ないが動きが速くてよく回る。イメージとしてはそういう理解でよいと思います。

では２問目。

さっきと同じように歯の数の比を考えてみます。
Ａ、Ｂ、Ｃの歯の数の比は、60：40：90＝６：４：９です。この比の逆比が回転数の比になるわけですが、３つ以上の項がある連比（れんぴ）を逆比にするときは、２つの比のように数字をチェンジするのではなく、全部を逆数にして作ります。
＊逆数…１をその数で割った商のこと。分母と分子を入れかえた数。（算数界の専門用語コーナーにも書いたことがあります）

Ａ、Ｂ、Ｃの回転数の比は、６：４：９を全部逆数にして
1/6：1/4：1/9
分母を最小公倍数の36で通分して
6/36：9/36：4/36
36をかけて分母を消すと６：９：４。これが６：４：９の逆比、すなわちＡ、Ｂ、Ｃの回転数の比です。

あとはＡの回転数が30回とわかっていますから、Ｂの回転数は30÷６×９＝45回、Ｃの回転数は30÷６×４＝20回と求めることができます。

ＡとＣは直接かみ合ってはいませんが、Ｂを介(かい)して間接的にかみ合っていることになり、もしＢの歯車を無視して、ＡとＣの２つの歯車だけで歯の数と回転数を調べても、やはり逆比の関係になります。
ＡとＣの歯の数の比　60：90＝２：３
ＡとＣの回転数の比　30：20＝３：２　間違いないですね。

では最後に少しややこしい３問目。

この問題では「かみ合っている歯車」と「乗っかっているだけの歯車」の区別が大事です。
上の２問で解説したように、かみ合っている歯車どうしは歯の数と回転数が逆比になりますが、ＢとＣのように乗っかっているだけの歯車どうしではその関係はありません。

まずＡとＣはかみ合っていますから、ＡとＣの歯の数の比72：90（＝４：５）を逆比にして、回転数の比は５：４です。
Ａが100回転すると、Ｃは100÷５×４＝80回転します。

ここでＢとＣについて考えます。ＢとＣはかみ合っているのではなく、ＢがＣに乗っかっているだけだから、ＢとＣは同じ時間内に同じ回数だけ回転します。つまりＣが80回転すれば、Ｂも80回転します。
＊乗っかっている歯車は回転数が等しい

次にＢとＤ。
ＢとＤはかみ合ってますから、歯の数の逆比が回転数の比です。ＢとＤの歯の数の比は48：64＝３：４だから、ＢとＤの回転数の比は逆比で４：３です。
Ｂが80回転するとき、Ｄは80÷４×3＝60回転します。

解答を整理します。
Ａが100回転するとき、ＢとＣはともに80回転、Dは60回転です。

＊＊＊
今回は歯車の問題について解説してみました。ポイントは次の３点です。
●かみ合っている歯車どうしは、歯の数と回転数が逆比になる
●直接かみ合ってなくても、他の歯車を介して間接的にかみ合っている場合も、歯の数と回転数は逆比になる
●乗っかっている歯車は上下で回転数が等しい

そんなにしょっちゅう出る問題ではないと思いますが、どこかで出されたときに困らないようにしっかり覚えておいてくださいね。
なお、この歯車問題は反比例（小６算数・中１数学）という単元の題材としてもよく使われます。この講座では反比例という言葉は使いませんでしたが、逆比と反比例は密接な関係がありますので、説明の切り口が違っていても、この講座と似た内容を反比例の単元でも習うと思います。そのときもこの講座を思い出してくださいね。

では今回の第91講座はこのヘンでお開きにしようと思います。
次回の講座では、
１×１　２×２　３×３　４×４　５×５　……を□×□まで加える計算方法をを算数の範囲で解説する予定です。珍しく次回予告などしてしまいました。どうぞ楽しみに！

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