Newみんなの算数講座６ 倍数の判定法
今回は倍数の判定法について説明したいと思います。
ある整数が３の倍数か？４の倍数か？というときに、いちいち筆算して調べる必要はありません。それが今回のテーマですね。正しく覚えておけば、いろいろな問題を解くときにかなり便利に使えると思います。
それでは２の倍数から11の倍数までの倍数判定法を順番に説明します。ひとつひとつ納得しながら読んでくださいね。
２の倍数の判定
これは簡単です。２の倍数とは偶数のことです。
２の倍数には一の位が偶数(0, 2, 4, 6, 8)という性質があります。
一の位が奇数(1, 3, 5, 7, 9)のときは２の倍数ではありません。
【判定例】
176 一の位が偶数だから２の倍数です
2793 一の位が奇数だから２の倍数ではありません
３の倍数の判定
３の倍数には各位の数字の和が３の倍数という性質があります。
その整数の各位の数をすべて合計したとき、その合計が３の倍数ならもとの整数は３の倍数です。
【判定例】
176 各位の数字の合計14が３の倍数ではないから、176は３の倍数ではありません
2793 各位の数字の合計21が３の倍数だから、2793は３の倍数です
４の倍数の判定
４の倍数には下２ケタが４の倍数という性質があります。
下２ケタ以外は４の倍数の判定には一切関係がありません。下２ケタの４の倍数には00、04、08を含みます。
【判定例】
176 下２ケタの76が４の倍数だから、176は４の倍数です
5290 下２ケタの90が４の倍数ではないから、2790は４の倍数ではありません
５の倍数の判定
これはとてもやさしいです。
５の倍数には一の位が０か５という性質があります。
【判定例】
176 一の位が６だから５の倍数ではありません
2790 一の位が０だから５の倍数です
６の倍数の判定
６の倍数は、２の倍数であり３の倍数でもあるものです。
つまり、上に書いた２の倍数、３の倍数の両方にあてはまれば６の倍数です。
【判定例】
176 ２の倍数ではあっても３の倍数ではありません。両方にあてはまらないから６の倍数ではありません
2790 一の位が０だから２の倍数、各位の数字の合計が18だから３の倍数です。両方にあてはまるから６の倍数です
７の倍数の判定
ふつう７の倍数には判定法がないといわれます。参考書などにもほとんどのってないでしょう。これはこの講座を読んだ人だけのお宝になるでしょうね。少し長いですが頑張って解読してください。
①３ケタの整数を調べるとき
一の位の２倍と上位２ケタの差が７の倍数(０をふくみます)という性質があります。
【判定例】
574 一の位の２倍は８、これと上位２ケタの差は57－８＝49です。49は７の倍数だから、もとの数574は７の倍数です。
②大きな整数を調べるとき
下位から３ケタずつに組分けし、奇数番目の組と偶数番目の組の和をそれぞれ求めます。それらの差が７の倍数ならもとの数は７の倍数です。そのときに求めた差が７の倍数かどうかは、改めて①の判定を行うことができます。
【判定例】
17988904598
下位から３ケタずつの組分けは598、904、988、17です。
奇数番目の組の和は 598＋988＝1586
偶数番目の組の和は 904＋17＝921
これらの差は1586－921＝665です。
665について①の判定を行うと 66－５×２＝56
56は７の倍数だから、最初に書いた整数は７の倍数です。
８の倍数の判定
８の倍数は２つの判定法を紹介しておきます。
ア 下３ケタが８の倍数
４の倍数は下２ケタでしたが、８の倍数は下３ケタで判定です。下３ケタの８の倍数には000、008、016などをふくみます。
【判定例】
13328 下３ケタ328が８の倍数だから、13328は８の倍数です
イ 下３ケタを８で割る計算は少し面倒ですね。そう感じる人はこちらの判定法を使ってみてください。
百の位が偶数のとき、下２ケタが８の倍数なら８の倍数です
百の位が奇数のとき、下２ケタが「８で割れない４の倍数」なら８の倍数です
【判定例】
648 百の位が偶数。下２ケタの48が８の倍数だから、648は８の倍数です
2740 百の位が奇数のときは、下２ケタが８の倍数でも８の倍数にはなりません
2736 百の位が奇数で下２ケタの36が「８で割れない４の倍数」だから、2736は８の倍数です
９の倍数の判定
９の倍数には各位の数字の和が９の倍数という性質があります。
その整数の各位の数をすべて合計したとき、その合計が９の倍数ならもとの整数は９の倍数です。何かの判定法とソックリですね。そう、３の倍数です。３の倍数と９の倍数は判定法が似ています。セットで覚えてくださいね。
【判定例】
576 各位の数字の和が18。18は９の倍数だから、576は９の倍数です
2793 各位の数字の和が21。21は９の倍数ではないから、2793は９の倍数ではありません
11の倍数の判定
11の倍数判定については公式テクニック集にも書きました。
一の位からひとつおきに取り出した数字の和と、十の位からひとつおきに取り出した数字の和を求め、それらの差が11の倍数(０をふくむ)なら11の倍数です。
【判定例】
9372 一の位からひとつおきに取り出した数の和は２＋３＝５。十の位からひとつおきに取り出した数の和は７＋９＝16。この差が16－５＝11（11の倍数）だから、もとの数9372は11の倍数です
倍数の判定法いかがでしたか？
「当然！」と「初耳！」が両方あったのではないでしょうか。中学受験の算数では、このあたりまで知っていたら十分だと思います。７の倍数はマニアックだから忘れてかまいませんが、それ以外の判定法は頭に入れておいてくださいね。
ではみなさんが今回の倍数判定法を大いに役立ててくださることに期待して、今回の講座をおしまいにしたいと思います。
カーテンコール
ものはついでなので、少し延ばして12の倍数～16の倍数まで簡単に触れておきましょう。
〈12の倍数の判定〉
12は３と４の最小公倍数だから、３の倍数と４の倍数の両方にあてはまれば12の倍数です。
〈13の倍数の判定〉
７の倍数に続くマニアック第二弾です(笑)
３ケタの整数なら、一の位の９倍と上位２ケタの差が13の倍数(０をふくむ)なら13の倍数です。大きな整数の場合は、７の倍数②と同じ手順を踏んでから改めて判定します。
〈14の倍数の判定〉
14は２×７だから、偶数で７の倍数なら14の倍数です。しかし７の倍数判定がマニアックだから、14の倍数判定もあまりやることはありませんね。
〈15の倍数の判定〉
３の倍数と５の倍数の両方にあてはまれば15の倍数です。
〈16の倍数の判定〉
下４ケタが16の倍数なら16の倍数です。16の倍数は４で二回割れるから、一度下４ケタを４で割り、もし割り切れたらその商を４の倍数判定するという手もあります。
みなさんへの宿題
18の倍数の判定法を簡潔に説明してください。
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