Newみんなの算数講座71 分け方の心得

みなさんこんにちは。ニューみん算講座71です。今回も元祖の講座を採用せずに新作講座を書きました。ニューになってからちょうど10番目の新作になります。全編改訂にあたり元祖講座(旧講座)を読み返してみると、70番台前半の講座に内容の不出来さを感じるものが多いです。筆が乗らない時期だったのかな～なんて昔を思い出したりしています。この付近、しばらく新作が多くなると思います。どんな算数が飛び出すか、毎回期待してくださいね。

講座71のテーマは場合の数のジャンルから分け方の心得です。ひとことで分け方と言ってもいろんなパターンがあるんですよ？ 〈分けるものが区別できるかどうか？〉〈受け取る側の入れ物が区別できるかどうか？〉 その他個数の条件もしっかり見きわめて考えてほしいと思います。

それでは最初の問題を出しますね。分けるものは違う果物だから区別できます。受け取る側は(1)と(2)で条件を変えました。

りんご、みかん、なし、かきの順にア、イ、ウ、エとして解説します。果物の頭文字よりア、イ、ウ、エの方が順序が認識しやすく整理に適していると思います。細かい点ですがマネしてほしいところです。

(1)
果物は４個ありますから、Ａ、Ｂのお皿に分ける個数は次のいずれかです。
①Ａに３個、Ｂに１個
②Ａに１個、Ｂに３個
③Ａに２個、Ｂに２個

①→Ｂに分ける１個がア、イ、ウ、エのどれかだから４通りです。

②→①と同様です。Ａに分ける１個がア、イ、ウ、エのどれかだから４通りです。

③→ア、イ、ウ、エの４個の中からＡに分ける２個を選ぶ組合せの計算です。４Ｃ２＝６通りです。

これらを合計して(1)の解答は４＋４＋６＝14通りです。

メモａ　お皿が区別できるという前提は、お皿の色がちがうと考えればわかりやすいと思います。①は青いお皿に３個で赤いお皿に１個、③は赤いお皿に３個で青いお皿に１個です。明らかに別の分け方ですよね？

メモｂ　「４個と０個に分けること」は自然に考えて除外します。片方のお皿が０個(ナシ)では分けたことになりません。もし０個を認めるときは問題文にその指示がありますね。

メモｃ　組合せの計算方法は講座14でくわしく解説しています。

(2)
お皿を区別しない場合、(1)で求めた14通りの中に同じ分け方が２つずつ重複しています。下に重複の例を示します。これらは分ける果物をお皿ＡＢ間で入れ替えただけなので、お皿を区別しない場合は同じ分け方です。

重複の例
ⅰ) ①の〈Ａ→アイウ　Ｂ→エ〉と②の〈Ａ→エ　Ｂ→アイウ〉はお皿をＡ、Ｂのように区別しなければ同じ分け方です。お皿を区別しない場合、①の４通りと②の４通りを別に数える必要がありません。
ⅱ) ③の〈Ａ→アイ　Ｂ→ウエ〉と〈Ａ→ウエ　Ｂ→アイ〉はお皿をＡ、Ｂのように区別しなければ同じ分け方です。お皿を区別しない場合、③の６通りは半分の３通りになります。

このようにお皿を区別しない場合、区別する場合の14通りの中に２つずつ重複があります。お皿を区別しない場合の解答は(1)の半分の７通りです。

メモｄ　お皿の区別をしないというのは、真っ白な同じお皿に分けているイメージです。場合の数の問題では、お皿を区別する・しないの指示がないときは、区別しないと考えます。

次は同じ果物が複数個ある問題です。２枚のお皿は真っ白な同じお皿と考えて区別しませんよ。

りんご、みかん、なしの順にア、イ、ウとします。

(1)
どちらか片方のお皿に分ける果物と個数を考えれば済みます。反対側のお皿には残った果物が収まるだけですからね。４個のお皿、５個のお皿のどちらに注目しても同じですが、個数が少ない４個のお皿に注目する方がラクでしょう。

４個のお皿(以下４個皿)に分けるりんごの個数(ア)で次のように分類します。

①４個皿に分けるりんごが４個のとき
②４個皿に分けるりんごが３個のとき
③４個皿に分けるりんごが２個のとき
④４個皿に分けるりんごが１個のとき
⑤４個皿に分けるりんごが０個のとき

①→４個皿が全部アです。これは１通りです。〈　〉内は４個皿に分ける果物です。
〈アアアア〉

②→４個皿にアを３個分けると、４個皿に分ける残りの１個がイかウのどちらかになります。２通りです。
〈アアアイ〉〈アアアウ〉

③→４個皿にアを２個分けると、４個皿に分ける残りの２個がイイ、イウ、ウウのどれかになります。３通りです。
〈アアイイ〉〈アアイウ〉〈アアウウ〉

④→４個皿にアを１個分けると、４個皿に分ける残りの３個がイイイ、イイウ、イウウのどれかになります。ウウウは個数が足りないからできません。３通りです。
〈アイイイ〉〈アイイウ〉〈アイウウ〉

⑤→４個皿にアを分けないと、４個皿に分ける４個をイとウから選ぶことになります。イは３個まで、ウは２個までというリミットに注意してください。次の２通りです。
〈イイイウ〉〈イイウウ〉

①～⑤を合計して求める解答は１＋２＋３＋３＋２＝11通りです。

このように、違う個数に分けるときは個数の少ない方(この場合は４個皿)に注目し、個数の多い方は考えなくても大丈夫です。上にも書きましたが、個数の多い方には残りの果物が収まるだけだからです。

(2)
(1)との違いは２枚のお皿が同じ個数になることです。ひとまず(1)と同じように考えますが、同じ個数の場合は重複に気をつける必要があります。２枚のお皿は区別されませんが、解説の都合上５個皿ａ、５個皿ｂと書きますね。ａとｂのお皿が入れ替わるだけの分け方は同じ分け方です。

５個皿ａに分けるりんごの個数(ア)で次のように分類します。

①５個皿ａに分けるりんごが４個のとき
②５個皿ａに分けるりんごが３個のとき
③５個皿ａに分けるりんごが２個のとき
④５個皿ａに分けるりんごが１個のとき
⑤５個皿ａに分けるりんごが０個のとき

①→５個皿ａにアを４個分けると、５個皿ａに分ける残りの１個がイかウのどちらかになります。２通りです。〈　〉内は５個皿ａに分ける果物です。
〈アアアアイ〉〈アアアアウ〉　

②→５個皿ａにアを３個分けると、５個皿ａに分ける残りの２個がイイ、イウ、ウウのどれかになります。３通りです。
〈アアアイイ〉〈アアアイウ〉〈アアアウウ〉

③→５個皿ａにアを２個分けると、５個皿ａに分ける残りの３個がイイイ、イイウ、イウウ、ウウウのどれかになります。４通りです。
〈アアイイイ〉〈アアイイウ〉〈アアイウウ〉〈アアイウウ〉

④→５個皿ａにアを１個分けると、５個皿ａに分ける残りの４個がイイイウ、イイウウ、イウウウのどれかになります。イイイイ、ウウウウは個数が足りないからできません。３通りです。
〈アイイイウ〉〈アイイウウ〉〈アイウウウ〉

⑤→５個皿ａにアを分けないと、５個皿ａに分ける５個をイとウから選ぶことになります。イもウも３個までというリミットに注意です。次の２通りです。
〈イイイウウ〉〈イイウウウ〉

①～⑤を合計すると２＋３＋４＋３＋２＝14通りですが、じつはこの14通りは同じ分け方を２回ずつ数えています。一例をオレンジ色にしました。たとえば５個皿ａを〈アアアイイ〉にすると、もう片方の５個皿ｂには〈アイウウウ〉が残ります。５個皿ａの分け方で④の〈アイウウウ〉を数えると同じ分け方を２回数えてますよね。

このように、同じ個数に分けるときは２枚のお皿が逆になっただけの重複に注意しなくてはなりません。解答は①～⑤の合計の半分で７通りです。

メモ　２枚のお皿が青、赤のように区別されるなら14通りです。ちなみに(1)の11通りもお皿が青、赤で区別されるなら２倍の22通りです。(1)も(2)も２枚のお皿は区別しませんが、(2)の場合は個数が同じだから、調べていく過程で重複に気をつけよう！ということですね。

次の問題は。区別できない同じ果物がたくさんあって、受け取る側の人間は名前で区別されています。

計算式一発で済ませてしまうテクニック(カーテンコール参照)もありますが、算数らしくていねいに考えてみます。

(1)
まず、３つの数字の合計が７になる組合せを考えます。一個ももらえない人がいてもよい条件だから０もＯＫですが、並べ替えについてはあとで考えるようにして、ここでは７－０－０と０－７－０のように数字の並ぶ順序が違うものはひとつにまとめます。

３つの数字の合計が７になる組合せは次の①～⑧です。
①７－０－０　②６－１－０　③５－２－０　④５－１－１
⑤４－３－０　⑥４－２－１　⑦３－３－１　⑧３－２－２

これらの組み合わせはもらう人を考慮していません。もらう人を考慮すれば、たとえば①の場合、７個もらう人がのび太、しずちゃん、スネ夫という３通りがあります。

ではもらう人を考慮するために①～⑧について並び替えを検討します。(　)内に示す数字は (のび太、しずちゃん、スネ夫) です。

①④⑦⑧は２つの数字が同じで１つの数字だけが異なります。この場合は３通りの並び替えがあります。①を例に取ると(７、０、０) (０、７、０) (０、０、７) の３通りです。

②③⑤⑥は３つの数字がすべて異なり、この場合は６通りの並び替えがあります。②を例に取ると(６、１、０) (６、０、１) (１、６、０) (１、０、６) (０、６、１) (０、１、６) の６通りです。

①④⑦⑧の４つが３通り、②③⑤⑥の４つが６通りあるから、これらを合計して、求める解答は４×３＋４×６＝12＋24＝36通りです。

(2)
全員が最低一個もらうという条件だから０が使えません。(1)で考えた組合せの中で０が含まれないものを選びます。
④５－１－１　⑥４－２－１　⑦３－３－１　⑧３－２－２

④⑦⑧には３通りの並び替えがあり、⑥には６通りの並び替えがあるから ３×３＋６＝15より、全員が最低一個もらう場合は15通りの分け方があります。

場合の数の分け方の心得、いかがでしたでしょうか？
場合の数というジャンルは算数に限ったものではなく、中高の数学にもつながっていきます。場合の数を本格的に勉強すると驚くべき奥の深さで、今回取り上げた分け方の話だけでも何十ページにわたる内容が書けてしまいます。
今回の心得は場合の数の分け方のほんの序章に過ぎませんが、解説に書いたような手作業を中心に(公式を多用せずに)調べていく算数の姿勢は、難しい問題を解くときにも十分活かせるだろうと思います。場合の数に強くなりたい人は、場合の数ばっかりの問題集を一冊買ってチャレンジしてみるとよいでしょうね。すべての問題を完全にマスターするのは大変でしょうが、自信を持って解ける問題を少しずつ増やしていくことが大事だと思います。

それでは今回の講座71はここまでにします。次回の講座72は元祖講座を保存するか新作に取りかえるか考え中です。楽しみにしてお待ちくださいね。じゃあそのときにまたお目にかかりましょう！(*^^)

カーテンコール
最後の問題を計算式だけで済ますテクニックを紹介します。最初にこれを～ と言われそうですが、やはり算数では調べる作業力を養うために本解説の方法を選んでほしいんですよね(*´з`)

(1)マンゴーを７個の〇、人を区切る仕切りを２本の｜で表します。問題の分け方はこれら９個の記号の並べ方で過不足なく網羅できます。
たとえば〇〇｜〇〇〇｜〇〇はのび太２個、しずちゃん３個、スネ夫２個です。
｜〇〇〇〇｜〇〇〇はのび太０個、しずちゃん４個、スネ夫３個です。つまり９個の記号が置かれる場所のうち、｜が置かれる２ケ所を選ぶ計算をして、問題の分け方は９Ｃ２＝36通りです。
(2)全員が最低１個もらうときは、のび太、しずちゃん、スネ夫に１個持たせておき、残り４個のマンゴーと２本の仕切りの並べ方です。６個の記号が置かれる場所のうち、｜が置かれる２ケ所を選ぶ計算で６Ｃ２＝15通りです。