NEWみんなの算数講座79 ９で割って余りが９？

ニューみんなの算数講座。改訂作業が加速しています。今回は79回目の講座の改訂版です。最初に書いたのも自分ですが、月日がたって読み直してみると、あっちもこっちも直したくなります。読みやすい講座を目指しての全講座改訂作業。あと20本ちょっとです。頑張ります。

さて79回目の今回の講座。正直ちょっと難しいかもしれません。でもなるべくわかりやすく書きますから、最後まで頑張ってついてきてほしいです。理解できたらとても気分がいいと思うんですよ？

というわけで今回の問題です。

さてさてどうしましょう？　ある整数も整数Ｘもわかってないし、一の位のどんな数字を書き忘れたかもわかりません。（整数Ｘは求めるものなのでわかってなくて当たり前ですけど）
わかっているのは正しい計算と間違えた計算の差だけ。ちょっと情報が少ない感じがしますよね。
しかしこれがなんとかなるんです。次のように考えるとしっかり答えがでてきます。

整数Ｘの各位の数字をＡ、Ｂ、Ｃ（どれも１ケタの数）とします。

整数Ｘ　➡　ＡＢＣ　（ＡひゃくＢじゅうＣ）

すると間違えて引いた数（Ｙとします）は

整数Ｙ　➡　ＡＢ　（ＡじゅうＢ）　になります。

ＸとＹの差が352ですよね？
（ＹがＸより352小さいから、引き算の答えが352大きくなりました）

整数ＸとＹを式で表すと次のようになります。Ａ、Ｂ、Ｃは各位の１ケタの数なので、整数Ｘ、Ｙを式で表すときは、百の位には100、十の位には10をかけてから、たすことになります。（一の位の×１は省略します。下に続く引き算の式では×１があると考えてください）

整数Ｘ　➡　100×Ａ＋10×Ｂ＋Ｃ
整数Ｙ　➡　10×Ａ＋Ｂ

ＸとＹの差を式にしてみます。

整数Ｘ－整数Ｙ
＝（100×Ａ＋10×Ｂ＋Ｃ）－（10×Ａ＋Ｂ）
＝90×Ａ＋９×Ｂ+Ｃ　…①
＊100個のＡが90個に減り、10個のＢが９個に減り、Ｃはそのまま

さらに①式を　９×（　）　の形に整理すると、
９×（10×Ａ＋Ｂ）＋Ｃ　…②　となります。
＊９で割れる部分を ９×（　）の形に直しました。＋Ｃはそのまま（　）の外です。

さてここまで進んだ②式を見ると、（　）の中が整数Ｙを表す式と同じになっていることがわかります。つまり②式はさらに変形できて、
９×（10×Ａ＋Ｂ）＋Ｃ
＝９×Ｙ＋Ｃ　…③　になりますね。

結局整数Ｘと整数Ｙの差は、整数Ｙの９倍にＣを加えたものなのです。不思議な感じがするかもしれませんが、ここまでの計算に間違いはないので、③式は正しいです。

ここで問題文に戻って確認します。整数Ｘと整数Ｙの差は352でしたよね。

そう、③式は352と等しい。９×Ｙ＋Ｃ＝352　です。

まだわからない文字が２つありますが、Ｃは１ケタの数だから、０から９に限られます。
352を９で割ってみるとＣの見当がつきそうです。

352÷９＝39あまり１

この割り算は
９×39＋１＝352と直すことができるので、
Ｙ＝39、Ｃ＝１ということですね。
整数ＸはＹの一の位にＣをつけたものだから、整数Ｘは391です。

たしかめてみましょうか。
整数Ｘ－整数Ｙ＝391－39＝352！　確かに一の位の１を書かなければ答えが352くるいますね。

（注意）この問題は整数ＸとＹを求めることはできますが、問題文の「ある整数」を求めることはできません。「ある整数」は整数Ｘより大きければなんでもよいです。

＊＊＊
無事に答えが出ましたが、じつはこの問題、数値によっては意外な落とし穴があります。問題では整数ＸとＹの差を352に設定しましたけど、もし252だと答えが２つになるんですよ。整数問題は深いなあ(*´з`)　話を続けますね。

つけたしコーナーで、Ｃが１ケタの数だから、352を９で割ったときの商がＹで余りがＣと書いたでしょう？
もし352が252だと、252÷９＝28あまり０になって、
Ｙ＝28、Ｃ＝０　➡　Ｘは280
これはこれで正解なのですが、
割られる数が９の倍数のときは、252÷９＝27あまり９という式も想定する必要が出てきます。
９で割ってあまりが９というのは普通はありえないことですが、この問題の場合は、
Ｙ＝27、Ｃ＝９　➡　Ｘは279
ちゃんとＹが２ケタ、Ｃが１ケタになりますから、この答えも正解なんです。
つまり問題の条件のＸとＹの差が９の倍数のときは、２つの答えが考えられるということです。

しかし「９で割って余りが９」を想定するのは大変でしょうから、安全運転するなら、９×Ｙ＋Ｃ＝□という式ができたとき、Ｃに０から９のどれをあてはめたらＹが整数になるか？を慎重に考えることですね。□が９の倍数のときだけ、Ｃは０と９の２つが考えられます。（□が９の倍数以外ならＣは１つだけです）

＊＊＊
ちょっと難しかったですか？　そう思った人もあきらめずに何度か読んでみてくださいね。内容がストンと頭に落ちたとき、「オー、この算数わかった～」という充実感をヒシヒシ感じると思いますよ。

ではこれでニューみん算79回目の講座を終わりにしたいと思います。次回が80回目になりますね。なるべく早く書きますから、皆さんまたいらしてくださいね。ではまた～！

カーテンコール
途中にあった式変形の手順は、分配法則と呼ばれ、算数ではとてもよく使われます。
６×3.14＋12×3.14＝(６＋12)×3.14
これと同じ要領で、90×Ａ＋９×Ｂを９×（10×Ａ＋Ｂ） のように直す変形もしっかりできてほしいところです。