NEWみんなの算数講座78 ２より５が大切！

皆さんこんにちは。
ニューみん算講座の78回目。今回は「２より５が大切！」という題名をつけてみました。不思議な題名でしょう？どうぞ今回も楽しい算数を知ってお帰りになってくださいね。

こんな整数問題がよくあります。

このＰの値。巨大な数すぎて実際の値をズバリ特定するのは難しいです。エクセルか何かの計算ソフトを使えば、もしかしたら表示してくれるかもしれませんが（私はやったことありません）、たぶんパソコンのモニターに、左から右までギッシリ数字が並ぶような超巨大整数だと思います。実際の値を知ることが不可能ではないとしても、人間がテストの時間内に突き止められる値でないことは間違いありません。

ではどうすればよいか？

実際の値を求めることはあきらめ、
Ｐという整数が、どのような素数のかけ算によってできているのか？
それも、すべてを調べるのではなく、問題を解くために必要な部分だけを調べるようにすればよいのです。

ではていねいに解説していきます。

(1)
一の位から並ぶ０の個数は、その整数が10で何回割りきれるか？
ということです。（もちろん商が整数になる割り算で）

たとえば46500という整数は、終わりに０がふたつあるから、10で２回割りきれますね？
このことをふまえ、整数Ｐを求めるかけ算の100個の整数（１～100）のなかに、10を作れる要素がどれくらいあるのかを考えます。

そしてさらに大切なことは、10という整数は素数ではなく、10＝２×５
つまり10という整数は２という素数１個と、５という素数１個がかけ算されてできていることです。
たとえばＰのかけ算の式の中にある６（＝２×３）が持っている素数の２と、15（＝３×５）が持っている５によって、10（＝２×５）を１個作ることができます。

このように10という整数は素数２と素数５による共同作品なのですが、ズバリ言うとこの問題の主役は素数５！　素数２についてはまったく無視してしまってかまわないのです！

なぜか？

それは、整数Ｐを求めるかけ算の式の中に、２の個数は５の個数よりたくさんあるからです。いくら２がたくさんあっても、５の個数がそれに追いつかなければ10を作ることはできません。「２より５が大切」というタイトルの意味がここで理解していただけたと思います。

では１～100の整数のなかに、５という素数が何個ふくまれているかを考えてみましょう。

①まず単純に５の倍数の個数を求めると　100÷５＝20個です。
【公式】１～Nまでの中にあるＡの倍数の個数は Ｎ÷Ａの割り算の商（余りは無視でよい）

②ところが、25（＝５×５）の倍数には、１つの整数のなかに５が２個ずつふくまれているから、その分を追加する必要があります。
１～100の整数の中の25の倍数の個数は 100÷25＝４個です。

①＋②より、１～100の整数の中にふくまれる５の個数は24個となります。
＊②でたしたのは２個めの５の個数です。１個めの５の個数は①に入っています。また、１～100の範囲には５を３個ふくむ整数はありません（５×５×５＝125）

いま求めた24個が(1)の答えです。整数Ｐは一の位から24個の０が並ぶ整数です。

(2)
今度はＰが12で割り切れる回数を求めます。

12を素数に分解すると２×２×３です。
だから、12で１回割り切れるためには、２が２個と３が１個必要です。

さて２の個数と３の個数、これはどちらを調べたらよいでしょう？
２の個数の方が多いのは予想できますが、12で１回割り切れるために、２は２個必要ですから、この判断はかなり微妙です。両方調べますね。

〈２の個数〉
①２の倍数の個数を求めると　100÷２＝50個です。
②４（＝２×２）の倍数には、２が２個ずつふくまれているから、
その追加分を考えます。100÷４＝25個です。
③８（＝２×２×２）の倍数には、２が３個ずつふくまれているから、
その追加分を考えます。100÷８＝12あまり４より12個です。
④16（＝２×２×２×２）の倍数には、２が４個ずつふくまれているから、
その追加分を考えます。100÷16＝６あまり４より６個です。
⑤32（＝２×２×２×２×２）の倍数には、２が５個ずつふくまれているから、
その追加分を考えます。100÷32＝３あまり４より３個です。
⑥64（＝２×２×２×２×２×２）の倍数には、２が６個ずつふくまれているから、
その追加分を考えます。100÷64＝１あまり36より１個です。

①～⑥を合計して、１～100の中にふくまれる２の個数は97個です。

〈３の個数〉
①３の倍数の個数を求めると　100÷３＝33あまり１より33個です。
②９（＝３×３）の倍数には、３が２個ずつふくまれているから、
その追加分を考えます。100÷９＝11あまり１より11個です。
③27（＝３×３×３）の倍数には、３が３個ずつふくまれているから、
その追加分を考えます。100÷27＝３あまり19より３個です。
④81（＝３×３×３×３）の倍数には、３が４個ずつふくまれているから、
その追加分を考えます。100÷81＝１あまり19より１個です。

①～④を合計して、１～100の中にふくまれる３の個数は48個です。

さて(2)の解答ですが、12で割り切れるためには２が２個と３が１個必要でした。２は97個ありますが、２は２個ずつ必要だから、
97÷２＝48あまり１より、２×２が48組あります。

３も同じ個数で48個です。（たまたまの一致です。このタイプの問題でいつも一致することではないです）

したがって整数Ｐが12で割り切れる回数は48回ということになります。
この設問では、たまたま一致しましたが、もし回数に差がある場合は少ないほうが解答です。さっき書いたお団子セットの理由ですね。

＊＊＊
今回は話が長くなってますが、長くなったついでに、ふくまれる素数の個数を簡単に計算する方法があるのでそれも紹介しておきましょう。上で求めた素数２の個数の計算を例にしますね。

下の計算のように、２で次々に割っていきます。割り切れるときと余りが出るときがありますが、大事なのは割り算の商です。（余りは省略してもよいです）
それ以上割ることができなくなったら、商をすべて合計してください。
50＋25＋12＋６＋３＋１＝97
さきほど求めた97個（１～100の中にふくまれる素数２の個数）がわかります。

＊＊＊
今回の講座、いかがでしたか？　一の位から並ぶ０の個数は、素数５の個数を調べればよいです。また、(2)で１～100までの整数に含まれる２の個数が、３の個数の２倍もあるのはなかなかおもしろい事実ですね。２と３はとなり合った素数なのにこんなに差があるの？　僕も解説を書きながら正直そう感じました。小さな発見だけど整数の不思議さも感じますよね。

２　97個　３　48個　５　24個　７？個　11　？個
各素数が100までに含まれる個数を記念に残して今回の講座を終わります。？は皆さんが調べてくださいね。ではまた次回をお楽しみに～。