Newみんなの算数講座28 つるかめ算で解く図形問題
みなさんこんにちは。講座28です。今日も楽しい算数の話をしますよ～(^^)/
この講座の主役はつるかめ算です。つるかめ算は文章題の中で活躍することが多いのですが、今回は図形の問題でつるかめ算を使うという珍しいケースです。もちろん基本的なつるかめ算の復習も書きますから安心して読んでくださいね。
ここでつるかめ算について説明しておきます。 つるかめ算は方程式を使わない算数独特の解法ツールです。つるかめ算が必要になるのは、数式で書くと
χ ＋ｙ＝12 2 χ＋3ｙ＝28
のように「 χとｙを直接たした和」と「 χとｙをそれぞれ何倍かしてたした和」がわかっているときです。この χとｙを求めるのがつるかめ算の役割なんですね。つるかめ算を知らない人でも、連立方程式が解ければχ、ｙを求めることはできますが、つるかめ算は方程式を使わない算数のシンボルとも言えるので、知らない人はこの機会にぜひ覚えてくださいね。
《算数で方程式を教えないのはなぜですか？》
何度も聞いた質問ですが、算数には方程式を使わないかわりにアイデアを積み重ねて問題を解こう！という目的があります。つるかめ算もそのひとつですね。そここそが柔らかい頭を育てる算数の生命線だから、方程式を教えてしまうと算数が算数ではなくなってしまう気がしますね。
では今回の問題を出しますね。
下の図のような台形ＡＢＣＤがあります。点Ｐは辺ＢＣ上の点です。三角形ＡＰＤの面積が210cm²のとき、ＰＣの長さを求めてください。
さてどうしましょう？方針が思い浮かびますか？
じつはこの問題がつるかめ算を図形に応用する問題なのですが、次のような基本つるかめ算が解けることが前提です。基本の復習から書きますね。
基本つるかめ算の復習
１個80円のチョコレートと１個50円のガムを合わせて20個買ったところ、代金の合計が1360円になりました。チョコレートとガムをそれぞれ何個買いましたか？
つるかめ算は下のような面積図を利用して解きます。タテ線がチョコやガムの単価、横線が個数を示します。左の長方形の面積がチョコの代金、右の長方形の面積がガムの代金で、図形全体の面積が1360(円)です。
オレンジ色の線から下の長方形の面積は50×20＝1000(円)です。これを1360から引いて左上の長方形の面積を求めます。
1360－1000＝360 →左上の長方形の面積
この面積をタテの長さで割るとチョコの個数になります。
360÷(80－50)＝360÷30＝12(個) →チョコの個数
20－12＝８(個) →ガムの個数
＊連立方程式ならチョコをχ個、ガムをｙ個として、χ ＋ｙ＝20と80 χ＋50ｙ＝1360です。つるかめ算が必要になる２式ですね。
さて今回の問題ですが、基本つるかめ算が大丈夫ならきっと理解できると思います。気づきにくい部分はあるんですけどね。がんばって解読してくださいよ？
三角形ＡＰＤ(210cm²)を点線にして、三角形ＡＰＥと三角形ＦＰＤを補いました。ほら、なんだか基本つるかめ算に似てきたでしょう？
あと上の図に足りないのは、基本つるかめ算のときの1360円にあたる数値です。それがわかれば基本つるかめ算と一緒ですね。 え？その数値が出ない？ たしかにここは頭を使うところかもしれないです。
まず台形ＡＢＣＤの面積を求めてください。そこから三角形ＡＰＤの面積を引くと三角形ＡＢＰと三角形ＤＰＣの面積の和が求まりますね？それがいま出したい数値の半分なのです。
くわしく 三角形ＡＢＰを２倍すれば長方形ＡＢＰＥ、三角形ＤＰＣを２倍すれば長方形ＦＰＣＤです。だったら三角形ＡＢＰと三角形ＤＰＣの面積の和を２倍すれば２つの長方形の面積の和になりますよね。
では計算していきます。
台形ＡＢＣＤ＝(20＋10)×30÷２＝450cm²
＊台形の面積 (上底＋下底)×高さ÷２
450－210＝240cm² →三角形ＡＢＰと三角形ＤＰＣの面積の和
240×２＝480cm² →２つの長方形の面積の和 (基本つるかめ算の1360円にあたる数値)
あとはさきほどの基本つるかめ算と同じです。
(480－30×10)÷(20－10)＝180÷10＝18cm →ＢＰの長さ
30－18＝12cm →ＰＣの長さ(答え)
無事に解決しましたね。つるかめ算を使って解く図形の問題、なかなかおもしろいでしょう？ この問題のなんとも算数らしいアイデアは、つるかめ算に持ち込む準備で台形から210cm²の三角形を引いた差を２倍して全体の面積を求めるところですかね。ナルホドを積み上げていきたい算数が、方程式を禁止にしている良さを感じとってくれたらうれしいですね。
では今回のお話はここまでにします。また次の講座も読みにきてくださいね！
カーテンコール
僕の出版デビュー作は「つるかめ算が３時間でマスターできる」という本でした。自分ではなかなかの出来栄えだと思っているのですが、残念ながらいまは増刷が止まっています。けっこう古い本ですからね。図書館でタイトルをいえばなんとかしてもらえるかな。あるいはアマゾンとかに古本はありそうです。よかったら探してみてください。
