Newみんなの算数講座４ メネラウスより補助線

今回は線分比を求める図形の問題です。中学校の数学で習うメネラウスの定理を使うと機械的に答えを算出することができますが、算数っぽく補助線を引いて解く方法を知ることが図形問題のレベルアップにつながると思います。

では最初に問題を出しますね。

あ、その前にひとつおことわりを。
僕がこのサイトに書く算数記事に共通したことですが、分数は 分子/分母 のように表記します。逆に読まないように気をつけてくださいね。

上の図において、
ＡＤ：ＤＢ＝３：４
ＢＣ：ＣＥ＝５：２のとき、
ＡＦ：ＦＣ（？のところ）を求めてください。

算数でこの問題を解くとき、ある場所に１本の補助線を引くのですが、じつはその補助線をスッと引ける人が意外と少ないのです。
みなさんはすぐに引けそうですか？
中高生や大学生、オトナの人でもまごまごしてしまう人が多いのではないでしょうか。

では正しい補助線の引き方をお伝えしますね。


正しい補助線は、上の図に点線で示したＤＥに平行でＣを通る線分ＧＣです。
補助線というと、どうしても頂点と頂点をつなぎたくなるのが人情のようで、ＤＥに平行な線という発想は、なかなか思いつかない人が多いようです。

無事にこの補助線が引けますと、気持ちよく比を移動することができて、問題はグッと楽になり、解答が近づいてきてくれます。

ＧＣとＤＥが平行だから、ＢＧ：ＧＤはＢＣ：ＣＥと等しく５：２です。赤い数字の比を緑色の比に移せるわけです。

いまの説明に ン？ と思った人は次のポイントを確認してください。

では、さらにもうひと組比を移動しますよ？図は再掲しておきます。

上のポイントのように、この問題で求めたいＡＦ：ＦＣ（？のところ）はＡＤ：ＤＧと等しいから、
ＡＦ：ＦＣを求めるのはＡＤ：ＤＧを求めるのと同じことです。
つまりＡＤ：ＤＧを求めれば、それがこの問題の解答なのです。

ＡＤは青い比で３ですから、ＤＧを青い比で表すことができれば解決ですね。ではＤＧを青い比で表してみましょう。
ＢＧ：ＧＤ＝５：２だからＤＧはＤＢの2/7倍です。ＤＢは青い比の４ですからＤＧ＝４×2/7＝8/7です。←ＤＧを青い比で表した

したがってＡＤ：ＤＧは３：8/7
これを整数比に直して21：８が正解となります。(比の両側を７倍しました。比は両側に同じ数をかけたり割ったりしてかまいません)

平行に引いた補助線を活かして、問題で与えられた比を移すというのが最大のミソだと思います。逆に言えば、比をうまく移せるような補助線が必要なわけですね。もう一点、それぞれ独立している別の比を関連づけるという部分は慣れが必要かもしれません。この解法はなんとかマスターして使えるようになってほしいです。一度では自信ないという人は、何度か読んで理解するようにしてくださいね。

ところで……
最初にも書きましたが、この問題は中学校で勉強するメネラウスの定理を使うこともできます。一応紹介はしておきますが、理由もわからない公式をむやみに使うのはよくないから、算数を強くなりたい人は参考にとどめてくださいね。

みなさん、補助線を引いて解く線分比の問題いかがでしたか？
もちろん中学で勉強するメネラウスの定理に欠陥はないけど、僕は補助線を引いて、問題で与えられた比を上手に移して解く方法をお勧めします。
素人が一流シェフのレシピのマネをしても同じ味にならないのは、それ以前に料理のセンスが不足しているからでしょう。それと同じで、まだ図形に自信のない人が公式を使って求めたところで、あまり図形のレベルアップにはつながりませんからね。まぁでも時間に追われた受験生がメネラウスで時間を削るのは仕方ないかもね。基本はあくまで補助線！メネラウスは答えの確認とか緊急手段？ そんな感じで今回の講座は終わりにしたいと思います。ではまた次の講座で！

＊今回の講座の復習テストが講座106にあります。

カーテンコール
算数でもがんばればメネラウスが成り立つことの説明はできます。もし使うならその説明ができるようになったあとがいいですね。いつか機会があったら書きましょうかね。

インフォメーションボード

〈算数の家庭教師のご相談・ご依頼・体験授業〉
こちらの説明ページをお読みいただき、ページ内のフォームからご連絡をお願いします。

〈お仕事関係のご連絡〉
こちらの連絡用フォームからお願いします。

〈算数講座へのご意見や質問／ウタマル先生へのお便り〉
どうぞこちらのフォームからお寄せください。

〈全講座カラー印刷ファイル〉
おかげさまでとてもよく売れています。どうもありがとうございます。印刷屋さんの協力で、５講座ずつを１冊子にまとめ、「なかとじ印刷」した片側Ａ５サイズ（開くとＡ４）のコンパクト版です。内容やご注文方法は、ご案内ページをご覧ください。
ご案内ページこちら