Newみんなの算数講座５ 「～で割ると～余り、～で割ると～余る」

(1)アマリー

あまりがそろっていることが特長です。あまりがそろっているのでアマリーと名づけました。

アマリーのパターンでは、
(わる数の最小公倍数×□)＋共通のあまり
という式を用意しておくと、□のところに０以上の自由な整数をあてはめてることで、次々に解答の候補を求めることができます。僕はこのような解答の候補を見つける式を代表式と呼んでます(正式な用語ではないです)。

では問題(1)の代表式を作ってみます。わる数３と５の最小公倍数が15、共通のあまりが１だから、代表式は｛15×□＋１｝となります。
この代表式を計算した結果が100にもっとも近くなるように□にあてはまる数を考えます。100÷15の商の整数部分でだいたいの見当はつきますよ。

100÷15＝６…より、
□＝６を代表式にあてはめると、15×６＋１＝91
□＝７を代表式にあてはめると、15×７＋１＝106
91より106の方が100に近いから正解は106です。

91を解答してしまう生徒が多いですね。100に近いという条件だから、近ければ100を超えてもかまいません。代表式にあてはめるとき、１つとなりを調べる習慣が大切です。２ケタでもっとも大きいものという条件なら91が正解ですね。

条件の例　この手の問題には、そのときによっていろいろな条件が加わります。次のような条件が多いと思います。
・２ケタでもっとも小さい(大きい)整数は？
・３ケタでもっとも小さい(大きい)整数は？
・～にもっとも近い整数は？　など

(2)サリー

特長はわる数とあまりの差がそろっている点です。差がそろっているのでサリーと命名しました。リーの部分はアマリーとそろえただけです(笑)

問題をもう一度見て、わる数とあまりの差がそろっていることを確認してください。
４－２＝２　５－３＝２
わる数とあまりの差がちゃんとそろってますね。

サリーのパターンでは、
(わる数の最小公倍数×□)－そろっている差
という代表式を用意しておくと、□のところに１以上の自由な整数をあてはめることで、次々に解答の候補を求めることができます。

くわしく　４で割ると２余る整数は、割る数とあまりの差の２を加えることによって、４で割りきれる整数になります。５で割ると３余る整数も同様です。
このことを逆に考えると、４で割ると２余り、５で割ると３余る整数とは、４でも５でも割れる整数(公倍数)より２小さい整数というわけです。

問題では、わる数４と５の最小公倍数が20、わる数とあまりの差が２なので、代表式は｛20×□－２｝となります。
この式を計算した結果が３ケタでもっとも小さい数になるように□に当てはまる数を考えます。100÷20＝５と見当をつけて、□＝５を代表式にあてはめると、
20×５－２＝98
残念ながら３ケタにならないから、□＝６を代表式にあてはめると、
20×６－２＝118　これが正解です。

(3)ワリー

今回新たに追加した内容になります。

ワリーの特長はわる数とあまりの和がそろっている点です。７＋３も８＋２も10になりますね？

ワリーは、問題の条件にあてはまる一番小さい整数を求めるのは簡単です。いま書いた10が問題の条件にあてはまりますよ？
10÷７＝１あまり３　10÷８＝１あまり２
間違いないですね？

10の次に条件にふさわしい整数は７と８の最小公倍数56を加えた66です。
66÷７＝９あまり３　66÷８＝８あまり２
これも間違いないですね？

つまり一番小さい10に56をたし続ければ、問題の解答候補は次々と出てきます。66の次は66＋56＝122です。
ワリーのパターンの代表式は、
(わる数とあまりの和)＋(わる数の最小公倍数×□)
という形ですね。□は０以上の自由な整数です。

問題(3)の代表式は｛10＋56×□｝です。
この式を計算した結果が500に近い整数になるように□にあてはまる数を考えます。500÷56＝８…と見当をつけて、□＝８を代表式にあてはめると、
10＋56×８＝458
まだ500には距離を感じるから、おとなりの□＝９をあてはめると、
10＋56×９＝514　こちらの方が500に近いですね。

メモ　解答候補は56ずつ増えるから、458＋56＝514という調べ方もあります。

(4)バラバリー

アマリー、サリー、ワリーのようにそろっているものがありません。そろっているものがないことがバラバリーの特長です。条件がバラバラということで名前をつけました。最初はバラバラーだったのですが、他との語尾の音感でバラバリーに変化しました。言葉は変化するものですからね。そんな大げさな話じゃないかな(笑)

バラバリーのパターンでは、書き出し作業によって、問題の２つの条件に当てはまる最小の整数をひとつだけ自力で調査してください。

問題の条件「４でわると２あまる数」は、
２　６　10　14　18　22　26　・・・(Ａ)

もうひとつの条件「７でわると１あまる数」は、
１　８　15　22　29　・・・(Ｂ)

この書き出しによって、両方の条件に当てはまる最小の数が22とわかりました。これ以上書き出す必要はありません。(Ａ)の並びは４ずつ、(Ｂ)の並びは７ずつ増えているから、４と７の最小公倍数28を加えて、
両方の条件にあてはまる２番目の数は 22＋28＝50、３番目の数は 50＋28＝78
以降、28ずつ加えることによって次々と解答候補を求めることができます。

バラバリーのパターンでの代表式は、
条件に合う最小の数＋(わる数の最小公倍数×□)
という形ですね。

問題(4)の代表式は｛22＋28×□｝です。
この式を計算した結果が３ケタでもっとも大きい数になるように□にあてはまる数を考えます。
1000÷28＝35…より、
□＝35を代表式にあてはめて、22＋28×35＝1002
あいにく４ケタになってしまったので、
□＝34を代表式にあてはめて、22＋28×34＝974
これが３ケタでもっとも大きい整数ですね。