Newみんなの算数講座54 つるかめとんぼ算

みなさんこんにちは。ニューみん算講座54です。
今回のテーマはつるかめ算の発展バージョンつるかめとんぼ算です。つるかめ算を知らないと話についてこれないと思うので、まずはつるかめ算をしっかり解けるようにしてください。僕の授業での口ぐせですが、算数はひとつずつ積み上げていく科目です。２の跳び箱の上に３の跳び箱がないのに４の跳び箱は乗せられないでしょう？ 無理して乗っけてもグラグラしちゃって崩れるのは時間の問題ですよね。

ではつるかめ算の復習からいきましょうか。

これはつるかめ算です。つるかめ算の定義は〈２量の直接の和と、２量をそれぞれ何倍かした和を使って２量を求める問題のこと〉です。つるかめ算の解き方は計算だけで解くか面積図で解くのどちらかでしょうね。塾や先生によって半々ぐらいなのかな。面積図も悪くないですが、今回は計算だけでやってみますね。

では計算だけでつるかめ攻略。

手順１
15匹すべてをどちらかの動物にしたときの足の本数を求めます。ここではすべてからすだったとしましょう。
15×２＝30本 → 15匹すべてをからすとしたときの足の本数

手順２
実際の足の本数との差を求めます。
38－30＝８本足りない

手順３
からす１匹を猫１匹に変えると足が４－２＝２本ずつ増えるから、足りない８本の足を増やすために必要な猫の数は８÷(４－２)＝４匹です。
これを15匹から引いてからすの数は15－４＝11匹です。

計算だけで解くつるかめ算も別に難しくないでしょう？

では今回のメインテーマつるかめとんぼ算を出しますよ。

これがつるかめとんぼ算です。足の本数が異なる動物が３種類出てますね。つるかめ算は動物が２種類でした。つるかめとんぼ算という名前は、つる(足が２本の鳥類)とかめ(足が４本のハ虫類)の次にとんぼ(足が６本の昆虫)をくっつけて、わからない量が３つに増えたことを表現しています。つるかめカブト虫算と教えている先生もいましたね。３種類のつるかめ算とも言いますが、その言い方はちょっとつまらないですね。

では解き方の解説です。
つるかめとんぼ算はわからない量が３つあるから条件も３つです。問題をみると３つの条件が書いてありますね。
１．全部で26匹
２．足は全部で108本
３．うさぎがにわとりの２倍

つるかめとんぼ算も「計算だけ」と「面積図」が選べます。とりあえず計算だけで解いてみましょうか。面積図はあとでのせますね。

手順１
条件３．を使って問題を普通のつるかめ算に直します。
うさぎ(足４本)とにわとり(足２本)の数の比が２：１です。このことを使って、うさぎとにわとりの足の本数を平均化させます。
(４本×２＋２本×１)÷(２＋１)＝10本÷３＝10/3(本)
この計算でうさぎとにわとりの足の本数が１匹あたり10/3本というように平均化できました。ここで解説の都合ですが、うさぎとにわとりの足の本数を平均化させた１匹の足の本数が10/3本の動物をうさトリと呼ぶことにします。
＊１匹の足の本数が分数とは妙に感じるかも知れません。しかしこれは問題を解く途中の一時的な現象で、最後の答えはきちんと整数になります。

手順２
うさトリとみんみんぜみで普通のつるかめ算を解きます。さきほど復習したつるかめ算と同じです。
26匹すべてがみんみんぜみだとすると、足の合計本数は26×６＝156本です。
これは実際の足の本数より156－108＝48本多いです。
みんみんぜみ１匹をうさトリ１匹に変えると、足の本数は６－10/3＝18/3－10/3＝8/3本ずつ減るから、足を48本減らすために必要なうさトリの数は48÷8/3＝18匹です。
これを26匹から引いて、みんみんぜみの数は 26－18＝８匹です。

手順３
手順２で求めたうさトリ18匹を、うさぎ：にわとり＝２：１となるように比例配分します。
18÷(１＋２)＝６匹 → にわとり
６×２＝12匹 → うさぎ

このように順を追って考えていけば式だけで解決させることもできますね。もし面積図を書いて考えるなら次のような面積図になります。

タテが１匹の足の本数、横が匹数(オレンジの数は実数ではなく比)です。さきほど式で説明したように、左側のにわとりの長方形と、中央のうさぎの長方形を平均化させれば、３つの長方形を２つにまとめることができて、つるかめとんぼ算をつるかめ算に直すことができます。

以上つるかめ算の復習～つるかめとんぼ算でした。
最後に改めてつるかめ算(つるかめとんぼ算)の解き方についてですが、計算だけで済ますか面積図を書いて考えるかのほぼ二択なので、みなさんが自分に合う方を選べばよいと思います。両方を使い分けるのもアリですね。算数は答えはオンリーワンですが、アプローチはいくつかありますからね。ワンパターンも味気ないでしょう。いろいろ試してくださいね。

では今回の講座はこれで終わります。次は連続数での和分解というおもしろい整数問題にふれようと思います。そのときにまたお会いしましょう！

カーテンコール
つるかめ算は計算か？面積図か？の補足。じつはつるかめ算の親せきに弁償算という文章題があって、それは残念なことに面積図による表現ができません。弁償算は計算だけで押し通すしかないんです。つまり面積図がないとつるかめ算が解けない人は弁償算で困ってしまいます。この事情まで考えると計算だけで解く方が少し優勢と言えるでしょう。弁償算についてはいつか書きますね。