Newみんなの算数講座65 切り口のレジュメ(前編)

こんにちは。ニューみん算講座65です。

今回と次回の２講座連続で立方体の切り口(切断面)をテーマに取り上げたいと思います。もっと早く書いてもよかった立体図形の重要項目ですが、他の内容に押されてようやくここでの登場になりました。

ではまず次の基本図からご覧ください。何の変哲もないごく普通の立方体です。

立体図形の問題で、立方体の辺上に３点を与え、その３点をすべて含む面で切断した切り口を考えることがあります。なぜ、与える点が３点かというと、平面は３点によって決定するという平面の決定条件があるからです。２点を含む平面は無数に存在して一つに決まりませんし、４点以上になるとすべての点を含む平面の存在が怪しくなります。存在することもありますが、必ず存在する保証がないです。だから３点なんですね。３点を与えることで、平面は一つに決定します。

メモ　３点にも例外があり、同じ直線上にある３点の場合は決定しません。正確には「同じ直線上にない３点」ということになりますね。

では、問題を４つ出します。どの問題もカラー表示で３点を与えていますので、その３点を含む平面で立方体を切断したときの切り口の形を考えてください。イメージするだけでもよいですが、できればこのページを印刷するか、別の紙に写して作図してみてほしいです。

下の図１～図４について、与えられた３点をすべて含む平面で切断したとき、切り口はどのような図形になりますか？ もっともふさわしい図形の名前を答えてください。カラー表示の赤い点は立方体の頂点、青い点は立方体の各辺の中点です。

解説の前に次のポイント、立方体切断のレジュメと反則をアタマに入れてください。

図１解説
もっとも基本的な問題です。ＢとＤ、ＢとＧ、ＤとＧは、すべて同じ面上にある２点です。レジュメ１より、それぞれストレートに直線でつなぐことができ、切り口は下の図のような正三角形です。レジュメ３にも書きましたが、三角形などと答えると不正解になります。ＢＤ＝ＢＧ＝ＤＧの特長を捉え、正三角形と答えてください。

図２解説
ＢとＤ、ＤとＨはダイレクトにつなげますが、ＢとＨをダイレクトにつなぐことはできません。反則に書いたように、ＢとＨは同じ面上にある２点ではないからです。
このような場合はレジュメ２の出番です。立方体の上の面ＡＢＣＤと下の面ＥＦＧＨは平行に向き合っているから、平行な面では切り口も平行になり、Ｈを通るＢＤの平行線が切り口の一辺になります。その平行線はＦＨとなり、ＢとＦは同じ面上にあるからつなげます。切り口は下の図のような長方形になります。

図３解説
ＰとＱ、ＰとＦはダイレクトにつなげますが、ＱとＦをダイレクトにつなぐことはできません。ＱとＦは同じ面上にある２点ではないからです。
Ｆを通るＰＱの平行線を引いてください。その平行線はＦＨとなり、ＱとＨは同じ面上にあるからつなげます。切り口は下の図のような台形になります。
＊等脚台形とも呼ばれる左右対称の台形です、ただし等脚台形という名前は検定教科書には出てないので台形の方がよいです。等脚台形を正解にするかどうかは採点者次第でしょう。

図４解説
ＡとＳ、ＳとＧはダイレクトにつなげますが、ＡとＧをダイレクトにつなぐことはできません。
Ｇを通るＡＳの平行線を引いてください。その平行線はＴＧとなり、ＴとＡは同じ面上にあるからつなげます。切り口は下の図のようなひし形になります。
＊この切り口を正方形と答える間違いが正解以上に多いです。切り口の四角形ＡＳＧＴはすべての辺の長さが等しい四角形ですが、対角線ＡＧとＳＴの長さが異なります(ＡＧ＞ＳＴ)。正方形は間違いでひし形が正解です。

３点が与えられた立方体の切り口問題、どうでしたか？ ここまではそんなに難しくないと思います。しかしですね～、知っている人もいるかもしれませんが、レジュメ１と２だけでは切り口の作図ができない３点の与え方もあるんですね。その場合は面を広げたり、辺を延ばしたりする新しいレジュメが必要になりますよ。それについては次回の後編で扱いたいと思います。なるべく早くアップしますから、また続きを読みにきてくださいね。
では切り口の前編は一度ここでおしまいにします。それじゃあまた～！

後編に続くため、みなさんへの宿題はありません。質問や感想などあればどしどしコメントくださいね(*^^)