Newみんなの算数講座55 連続数による和分解

こんにちは～。ニューみん算講座55の時間です。

今回は、連続数による和分解というちょっと変わった整数問題についてお話をしようと思います。この内容が直接テストに出されることは少ないと思いますが、読んでもらうことで整数についての知識が増え、その知識を他の問題で活かせることがあると思います。いつもより難しいかもしれませんが、一生懸命書きますから頑張って解読してくださいね。ではさっそく問題を出して始めましょう。見たことない問題じゃないかな？

この２問は難しくないですね。すぐにわかった人が多いでしょう。
(1)の答えは１＋２＋３です。３つの連続した整数の和で６になります。答えはこの１通りしかありません。
(2)の答えは３＋４です。２つの連続した整数の和で７になります。これも答えはこの１通りしかありません。

では次。整数を取りかえただけで同じ問題です。

(3)は２通りできるんです、３つの連続した整数の和５＋６＋７と、４つの連続した整数の和３＋４＋５＋６ですね。
(4)は意外な答えです。残念ながら16は連続した整数の和に分解することができません。16は０通り。

なんか不思議でしょう？ できたりできなかったり、できるときも１通りだったり２通りだったり…。算数は数学のように一般化(公式化)することには必ずしもこだわらないのですが、やはり法則を知りたくなるのが人情でしょうね。法則は最後に説明しますから、もう少し具体的な問題を考えてみてください。１問ずついきますね。もし途中で法則がわかった人はすごく優秀ですよ！

(5)は３通りの分解ができます。
２つの連続した整数の和19＋20、３つの連続した整数の和12＋13＋14、６つの連続した整数の和４＋５＋６＋７＋８＋９です。

次に進めましょう。

72は２ケタの整数では約数を一番多く持つ整数ですが、この問題では意外に少なくて２通りだけ。３つの連続した整数の和23＋24＋25と、９つの連続した整数の和４＋５＋６＋７＋８＋９＋10＋11＋12です。

早く法則を説明して～という声が聞こえてきそうですがもう１問だけ。

63はこれまでのなかで一番多くて５通りあります。具体的に書くと
31＋32（２つの連続した整数の和）
20＋21＋22（３つの連続した整数の和）
８＋９＋10＋11＋12＋13（６つの連続した整数の和）
６＋７＋８＋９＋10＋11＋12（７つの連続した整数の和）
３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋10＋11（９つの連続した整数の和）です。

いろいろな数を例にしましたが、何かひらめいたことがありましたか？

ではだいぶ引っ張った法則をここでお伝えしましょう。じつは連続した整数の和に分解できるパターンの数は、その整数の１以外の奇数の約数の個数と同じなのです。

さきほど上で示した□通りを(4)まで確認してみましょう。
(1)６の約数１、２、３、６のうち、１以外の奇数は３だけ。→１通り
(2)７の約数は１と７。１以外の奇数は７。→１通り
(3)18の約数１、２、３、６、９、18のうち、１以外の奇数は３と９。→２通り
(4)16が分解できなかった理由は、16に１を除いた奇数の約数がないからです。
その他の例についても同じ考え方です。調べてみてください。

ではこの理由を考えてみましょう。整数30を例にしましょうか。
30の約数は１、２、３、５、６、10、15、30で、このうち１以外の奇数は３、５、15の３つです。上に書いた法則から30の分解方法は３通りになりますね。この３通りは次のア、イ、ウのように求めることができます。30をそれぞれの約数個に等分し、連続数ができるようにセンターの両側を調整します。

ア…３等分する場合
30を３等分すると10＋10＋10です。
センターの10はそのままにして、左の10を「－１」、右の10を「＋１」すると、
９＋10＋11のように連続する整数の和に分解できます。

イ…５等分する場合
30を５等分すると６＋６＋６＋６＋６です。
センターの６はそのままにして、センター左の６を「－２」「－１」、センター右の６を「＋１」「＋２」すると、４＋５＋６＋７＋８のように連続する整数の和に分解できます。

ウ…15等分する場合
30を２＋２＋２＋……＋２……＋２＋２＋２のように15等分します。（２が15個）
センターの２はそのままにして、左から
－７、－６、－５、－４、－３、－２、－１、センター、＋１、＋２、＋３、＋４、＋５、＋６、＋７のように操作します。

(２－７)＋(２－６)＋(２－５)＋(２－４)＋(２－３)＋(２－２)＋(２－１)＋２＋(２＋１)＋(２＋２)＋(２＋３)＋(２＋４)＋(２＋５)＋(２＋６)＋(２＋７)

この式は同じ色をつけた部分の計算が０になって消え、(２－２)も０だから、最後の４項が残って６＋７＋８＋９のように連続する整数の和に分解できます。

くわしく　算数にはマイナスの数がないから、２－７を－５とはできないので、２＋３と２－７を合わせて２＋３＋２－７＝０のように消しました。マイナスの数を使って書くなら上の式は
(－５－４－３－２－１＋０＋１＋２＋３＋４＋５)＋６＋７＋８＋９となります。(　)内が０になって消えますね。

まとめましょう。
ある整数を連続した整数の和に分解できるのは、ある整数を奇数個に分けたときだけです。奇数個に分けるとセンターが存在しますよね？ そのセンターを中心に左右に
〈……、－３、－２、－１、センター、＋１、＋２、＋３、……〉といった調整をすることで連続する整数の和に分解できるわけです。ある整数を偶数個に分けてしまうとセンターがないため、奇数個のときのような調整～分解ができません。
このような理由で、ある整数の持つ１以外の奇数の約数の個数と同じだけ、連続する整数の和に分解するパターンがあることがわかります。なお、奇数でも１を除外する理由ですが、これは整数が１個では連続にならないからです。たとえば６を６のまま、1個の連続した整数に分解したとは言わないでしょう？ 連続というのは最低２個以上ですよね。

連続数による和分解を理解してもらえたでしょうか？ あまり取り上げられることがない内容ですが、整数は算数世界に不可欠な役者ですから、こうした出演作も知っておくことで、整数ひいては算数との距離を縮めてもらえるのではないかと思って書きました。整数のジャンルはとても深く、他にもいろいろな話がありますよ。教うるは学びの半ば！ 講座を書くことで僕は教えると同時に自分も学べています。乗りかけた舟！まだまだ書き続けますからね。これからもニューみん算講座の応援をよろしくお願いします。
次回56講座では立体を切断しようと思います。楽しみに待っていてくださいね。それじゃあまた～！

カーテンコール
ｍから始まる連続したｎ個の整数の和を求める (２ｍ＋ｎ－１)×ｎ×1/2 という公式があります。算数の範囲でもこの公式の説明は可能です。次のような等差数列の和ですね。
ｍ、ｍ＋１、ｍ＋２、ｍ＋３、………、ｍ＋(ｎ－１)
＊最後はｍ＋ｎではありません。最後をｍ＋(ｎ－１)にすると全部でｎ個になります。具体的な数でお調べください。

等差数列の和は (初めの数＋終わりの数)×個数×1/2 だから、この数列の和は
｛ ｍ＋ｍ＋(ｎ－１) ｝×ｎ×1/2＝ (２ｍ＋ｎ－１)×ｎ×1/2 です。
さきほどの30の分解では、この式を
(２ｍ＋ｎ－１)×ｎ×1/2＝30 → (２ｍ＋ｎ－１)×ｎ＝60
のように使うとｎが60の約数とわかり、答えを知る手がかりになるでしょう。数学の文字式は算数の範囲ではないので深入りはしませんが、興味があるみなさんは続きを考えてみてください。30を連続する整数の和に分割する(ｍ,ｎ)の組は、ア(９,３)イ(４,５)ウ(６,４)です。