Newみんなの算数講座26 ぴったり円の半径

Newみんなの算数講座26へようこそ。またみなさんにお会いすることができてとても光栄です(*^^)

今回の図形の問題はそれほどよく出る問題ではないですが、むかしからあるとても有名な問題です。難しくないのですんなり理解してもらえるでしょう。算数はいっぺんに欲張らなくていいから、少しずつ自信をもって解ける守備範囲を広げていくことが大事です。その自信を積み重ねていくうちに実力がついていくんです。水積もりて川となる！ですね。

今回の問題はこれです。守備範囲に追加してくださいね。

直角三角形に内接する円の半径を求める問題です。算数ではくわしく扱いませんが、円と直線が１点で交わるとき「円と直線は接している」という表現をします。辺ＢＣが接線、Ｈが接点で、「円の中心と接点をつないだ線(ＯＨ)は接線と垂直」という性質があります。このあたりは数学でくわしく扱う内容なのでここでは深入りしませんが、円の半径が三角形の辺と垂直に交わることはおさえてください。

では半径の求め方を解説します。

中心ＯとＡ、Ｂ、Ｃをそれぞれつなぎます。上の図では緑の線で示しました。

全体の△ＡＢＣの面積は３つの三角形ＯＡＢ、ＯＢＣ、ＯＣＡの面積の合計ですよね。式で書くと△ＡＢＣ＝△ＯＡＢ＋△ＯＢＣ＋△ＯＣＡです。この関係を使うと円の半径を求めることができます。

全体の△ＡＢＣの面積は簡単です。
８×６÷２＝24cm²

内側の３つの三角形は、具体的な面積はまだわかりませんが、半径の長さを□cmとして式で表すことができます。最初に書いたように、円の半径は三角形の各辺と垂直に交わるから、円の半径は内側の３つの三角形の高さになってますね。
△ＯＡＢの面積　６×□÷２＝３×□(cm²)
△ＯＢＣの面積　８×□÷２＝４×□(cm²)
△ＯＣＡの面積　10×□÷２＝５×□(cm²)

これらをブルー下線の式にあてはめると、
(３×□)＋(４×□)＋(５×□)＝24
左辺を分配法則を使ってまとめて
(３＋４＋５)×□＝24
12×□＝24
□＝24÷12＝２cm　これが求める円の半径です。簡単だったでしょう？ ポイントは全体の三角形を３つに分けることですかね。あとは半径を□cmとおいて式を作ればすぐに解決です。

メモ　分配法則 〇×□＋△×□＝(〇＋△)×□
同じ数をかけた積を合計する計算はこのようにまとめることができます。例は２項ですが何項あっても同じです。たし算の部分はひき算でも大丈夫です。

はやばやと解けてしまったので、この問題用の公式をプレゼントしましょう！
いま求めた円の半径には、外側の三角形の面積と辺の長さが大きく関係しています。内側の３つの三角形の面積の合計は (３＋４＋５)×□÷２でしたね？ これが全体の△ＡＢＣの面積24と等しいということは (３＋４＋５)×□÷２＝24が成り立ちます。この式の□を求めるための計算は？
そうです。24×２÷(３＋４＋５)ですね。これは外側の三角形の面積を２倍して３辺の長さの和で割っているわけです。この事実はいつかまた使うときのために残しておいてもいいですね。公式は次のようになります。

前に講座10でも書きましたが、算数には絶対知らなくてはいけない公式と、知っていると便利という公式があって、この公式は後者の便利公式です。なので無理して覚える必要はないです。むしろ最初の解説のように順番に筋道をたてて考えるほうが他への応用もきくし算数の実力につながるでしょう。パソコンの自動変換に任せてばかりいると漢字が書けなくなったりするでしょう？便利な公式に頼ってばかりだと頭を使う時間が減りますよね。自分で考えたやり方は頭に残るけど、公式だけだと忘れたときがピンチですし。一番ベストなのは自力でも解けて、予備知識として公式も知っておくことでしょうかね。

では今回の講座はここまでにします。なるべく早く次の講座でお会いできるように準備しますね。それまでみなさんお元気で！

カーテンコール
この例と逆に三角形の外側に円が外接するときは、(外接円の半径)＝(三角形の３辺の積)÷(三角形の面積の４倍）です。ただしこれは高校数学の範囲なので算数の問題に出てくることはありえません。数学が得意な方、お調べください。