Newみんなの算数講座９ 数学より優秀!?算数の道順たし算

今回は場合の数の問題としてよく使われる道順問題を解説しようと思います。この考え方には、僕はいまでも算数の知恵の素晴らしさを感じますね。式を立てたり公式に頼ることもありません。とてもユニークな考え方ですよ。

では問題出しますね。

じつはこの問題、「同じものをふくむ順列」という名前で高校数学にも登場します。高校数学では公式を使って計算しますね。（カーテンコール参照）
もちろんそれも一つの方法ですが、僕の感覚ではこの問題については明らかに算数の考え方に軍配ですね。高校数学の計算だと、経路が複雑になったときに式が立てにくくなるのですが、算数の考え方は経路が複雑になっても同じ方法で対応できるのです。講座のタイトルは決して大げさではなく、算数の専売特許ともいえる名解法があります。これならきっと低学年の子供たちでも答えが出せるでしょうね。
では(1)から解説します。

(1)
下の図を見てください。それぞれの交差点に数字が書いてあります。
その数字は、スタートのＡ地点からその地点までの最短経路数を示しています。たとえばＡから真上や右方向の交差点へは、どこも直進する１通りの経路しかありません。直進する以外は遠回りになりますからね。各数字は、その交差点をゴールとしたときのＡからの経路数という言い方もできます。

Ａの近くに２と書いてある交差点がありますが、これは左の１と下の１をたしたものです。つまり、Ａから２と書いてある交差点へ行く経路は、左からくる経路(１通り)と下からくる経路(１通り)を合わせて２通りということです。

このように、各交差点の数字は、左と下の数字をたすことで次々に求めていくことができます。左と下の数字がそろってからたし算してくださいね。ＡからＢへ行く経路は全部で56通りが正解です。

(2)
途中のＰ地点を通る場合は、下の図のように〔スタートＡからＰ地点〕と〔Ｐ地点からゴールＢ〕を分けて考えます。
〔スタートＡからＰ地点〕10通り
〔Ｐ地点からゴールＢ〕３通り
スタートＡからＰ地点まで10通りのどの経路を選んでも、Ｐ地点からゴールＢまでがそれぞれ３通りずつあるから、Ｐ地点を通る経路は10×３＝30通りです。

メモ
(1)の答えから(2)の答えを引くと、Ｐを通らずにＡからＢまで行く経路数が求められます。(56－30＝26通り)

(3)
通行禁止区間がある場合は、左の図のようになります。
Ｔ地点の数字に注目してください。４＋１＝５ではなく１になってます。これはＳＴ間が通れないため、左のＳ地点の４がたせないからです。Ｔ地点の数字はＴの下の交差点と同じ１になります。通れない道の数字はたさないと覚えればよいでしょう。他の部分は(1)と同じように考えて、ＳＴ間が通れない場合の経路数は44通りです。

ではオマケにもう一つ。上の問題はきれいな長方形でしたが、こんな形になったらどうしましょう？

この場合はＹの交差点に左からの合流がないから、Ｙの経路数はＸの経路数と同じになります。解答は31通りになりますからみなさんが確認してみてください。

算数ならではの道順たし算、いかがでしたでしょうか。
かつての教え子たちも、高校で習った計算式より算数のやり方がわかりやすくて楽しいと言ってましたね。算数が数学にまさっている？ 算数の指導者としては嬉しくなります。中学受験はもちろんですが、大学受験でも就職試験でも算数で解いてはいけないということはないですね。ぜひみなさんも算数の道順たし算を忘れずに覚えておいてくださいね。
では今回はここまでにいたしましょう。

カーテンコール
高校数学では、ＡからＢに行くには右に５マス、上に３マス移動する必要があるから、「右右右右右上上上」という８個の漢字を並べる順列の数として計算します。同じ漢字がふくまれているから８！＝８×……×１(通り)ではありません。「右」の重複が５！＝５×……×１(通り)、「上」の重複が３！＝３×２×１(通り)あるから、８！を〈５！×３！〉で割ることになります。よかったら計算してみてください。
＊！→ 階乗。数学記号。その整数から１までの整数をすべてかけた積のこと。