Newみんなの算数講座16 加比の理で解く図形問題

今回の講座では「同じ比どうしをたしても同じ比」という加比の理(かひのり)の考え方を使って図形の問題にせまります。理解してもらえたら図形問題のレベルアップは間違いないでしょう。

さて、このことを使って解く図形の問題があります。わりとよく見かけますよ。しっかり読んでしっかり理解してくださいね。

解説の前にこの問題で使う図形の基本を１つ確認しておきます。

では問題の解説です。
求めるのはＥＧ：ＧＣですが、この長さを直接求めるのではなく、面積の比がＥＧ：ＧＣと等しくなる三角形を探します。ＥＧ：ＧＣと等しくなる三角形の面積の比を答えれば、それはＥＧ：ＧＣを答えたことと同じですよね？

△ＥＢＧと△ＧＢＣの底辺をＥＧ、ＧＣとみると、２つの三角形の高さは等しいから、ＥＧ：ＧＣは△ＥＢＧと△ＧＢＣの面積の比と同じです。しかし残念ながら△ＥＢＧと△ＧＢＣの面積を求めるのは簡単ではありません。

補助線ＥＦ、ＦＣを引いてみましょう。

面積の比がＥＧ：ＧＣの比と等しくなる三角形がまた１組現れました。△ＦＥＧと△ＦＧＣです。しかしこれらの面積も簡単には求めることができません。

ここで加比の理の登場です。
△ＥＢＧと△ＧＢＣの面積の比＝ＥＧ：ＧＣ
△ＦＥＧと△ＦＧＣの面積の比＝ＥＧ：ＧＣ　でしたよね？
するとこれらをタテにたした面積の和もＥＧ：ＧＣの比になるはずです。これぞまさに加比の理！
△ＥＢＧと△ＦＥＧをたせば△ＥＢＦになり、△ＧＢＣと△ＦＧＣをたせば△ＦＢＣになります。

△ＥＢＦと△ＦＢＣの面積なら三角形の面積の公式で簡単に求められますね。
△ＥＢＦ＝３×５÷２＝7.5cm²
△ＦＢＣ＝８×５÷２＝20cm²

これで答えがわかりました。ＥＧ：ＧＣの長さの比は、△ＥＢＦと△ＦＢＣの面積の比と等しいから7.5：20
これを整数の比に直して３：８が解答となります。

メモ　比は両側に同じ数をかけても割ってもかまわないから、7.5：20はまず２倍して15：40　これを５で割って３：８です

加比の理で解く図形の問題、理解してもらえたでしょうか？
面積の比がＥＧ：ＧＣの比になる三角形が３組あって、その中で簡単に面積を求められるのが加比の理を使って合計した△ＥＢＦと△ＦＢＣという仕掛けでした。
今回の問題は相似形を利用するなど他の解き方もあります。図形の問題は解き方がひとつということはほとんどなくて、いろいろな解き方があるのが普通です。引き出しの数が多い人ほど有利ということですね。加比の理の解き方はメジャーではありませんが、なかなかユニークな解き方ではないかと思います。使えることもけっこうあると思うので、頭の引き出しにしまっておいてくださいね。

では今回の講座はこれで終わります。また次の講座で元気にお会いしましょう。風邪とか引かないでくださいね。