Newみんなの算数講座13 旅館に子供を配る問題

今回は過不足算という文章題について解説します。インパクトをねらって変わったタイトルをつけてみましたが、最後までお読みになれば僕の意図を理解してもらえると思います。

ではまず過不足算の典型的な基本問題を一問。

算数でこの過不足算を解く方法はいくつかあります。教える先生の好みが出やすいところかもしれませんね。面積図で教える先生が多いかな。僕は過不足算に面積図は反対派！「過不足算は簡単なメモだけで解けるよ」と教えます。 え？ XとY の連立方程式？ 算数には方程式がないからそこから教えないとならなくなりますよ？０より小さいマイナスの数もないから、式は作ったけど処理に困るという問題も起きるでしょうね。

ではよく見かける面積図による解法と、僕が一押しの簡単なメモで済ませてしまう方法を解説しましょう。

〈面積図による解法〉
下のような面積図を書いて考えます。
タテが子どもの人数、横が分けるときの個数です。５個ずつ分けると35個あまり、７個ずつ分けると13個不足することを表現しています。カラーで表示した部分が実際のキャンディーの総数ですね。

面積図さえ書ければ計算は簡単です。
子どもの人数＝(35＋13)÷(７－５)＝48÷２＝24人
キャンディーの総数は、カラー表示の部分の面積を求めて
24×５＋35 または 24×７－13
どちらで計算しても155個と求めることができます。

メモ　□×５、□×７の長方形の面積が配るときに必要な個数です。実際のキャンディーの個数はカラー部分の面積です。□×５に35個たしたり、□×７から13個を引くと実際のキャンディーの個数になっています。

〈簡単なメモで解く方法〉
この問題は「あまりと不足」の条件だから面積図も書きやすいですが、「あまりとあまり」や「不足と不足」の条件になると、面積図がうまく書けない生徒が多いようです。そこで僕はこんなメモ書きを推奨しています。イラストは書かなくてもいいですよ？(笑)

１人分　　　全体
５　　　　　35あ　←あまりの　あ
７　　　　　13ふ　←不足の　ふ

差をとる　　２　　　　　48
割る　48÷２＝24人 ← これがの人数です

このように過不足算は(全体の差)÷(１人分の差)＝(人数)がポイントになります。１人分の小さな差が、何人か集まることで全体の大きな差が生じるわけです。それを逆用すれば、上のようなわり算で人数が出ますよね。このポイントがつかめていれば、こうしたメモ書きだけで十分です。わざわざ面積図を書く必要もないと思いませんか？

あとはどちらかの条件に子どもの人数をあてはめて、
24×５＋35＝155個…キャンディーの総数

注意　〈あまり〉と〈不足〉の差はたし算して求めます。気温10度と－５度の差が10＋５＝15度になる感覚です。〈あまり〉どうしの差、〈不足〉どうしの差は引き算でよいです。カーテンコールもご覧ください。

では次の問題です。同じ過不足算なのですが、ストーリーが変化すると生徒たちの正解率がだいぶ下がります。こんな過不足算です。

この問題の正答率が低い理由は、子供の役割がさきほどのキャンディーの問題と違うからです。さきほどの問題は子供にキャンディーを配りましたが、この問題は旅館に子供を配っているのですね。つまり、この問題ではさきほど子供を求めたように部屋数を求め、キャンディーを求めたように子供を求めればよいのです。
では面積図はカットして、メモ方式で答えをだしますね。子供を９人ずつ配るときに不足する人数は、５人しかいない部屋の４人と、２つの空き部屋の９×２＝18人で合計22人です。

１部屋分　　全体
７　　　　　36あ
９　　　　　22ふ

差をとる　　２　　　　　58

割る　58÷２＝29部屋 ← 部屋の数です。子供の数ではありません

あとはどちらかの条件に部屋の数29をあてはめて、
29×７＋36＝239人…合宿の参加人数

２問の過不足算いかがでしたか？
ストーリーこそ違いますが、どちらも同じように解ける問題だということを理解してもらえたのではないでしょうか。他には、子供が講堂の長椅子に座ったり、なにかの費用を分担して払う過不足算もありますね。どこかで過不足算に遭遇したら、ぜひメモだけでやっつけてくださいね。

では今回の講座はこれでおしまいにします。算数楽しいでしょう？また次の講座でお会いしましょうね。

カーテンコール
途中、あまりと不足をたしましたが、求めたのは和ではなく差なのです。算数にはマイナスの数がないから「反対語の差はたして求める」と教えます。本文では気温の例を書きましたが、お金の方がわかりやすいかもしれません。３万円のもうけと２万円の損の差は１万円ではなく５万円ですよね。