Newみんなの算数講座14 記念撮影と掃除当番

今回の講座では場合の数の２大スターともいえるＰの計算とＣの計算について紹介したいと思います。前回に続いてユニークなタイトルをつけてみましたが、このタイトルが内容を伝えるにはとてもふさわしいと思ってます。

では初めにＰの計算とＣの計算の本名をお伝えしておきます。

Ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ
Ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ

これが本名です。カタカナで書くとパーミュテーション、コンビネーションです。この２つの英単語の頭文字は数学の記号として正式に使われています。中学や高校で習った人も多いでしょうね。たぶん中学受験の塾でも教える先生がいるんじゃないかな。頭文字なら小学生にも難しくありませんからね。

パーミュテーションは初耳の人が多いかも知れませんが、コンビネーションは日本語でもよく使いますね。コンビネーションサラダ、コンビネーションプレー、そうそう、そんな感じ。日本語に訳すと、パーミュテーションが順列、コンビネーションが組合せです。パーミュテーションは身近なたとえがないけど、コンビネーションサラダはいろいろな野菜の組合せですよね。

ではそれぞれの意味と使い方を解説します。よく似てますのでしっかり区別できるようにしてください。

＜記念撮影はＰｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ 順列＞

４匹の動物がいますよ。サル、パンダ、ライオン、ゾウ。みんな別人(別動物？)ですね。

このような並べるパターン数を調べるのが順列の問題です。順列という言葉には並べるという意味があります。

まず式の書き方ですが、４匹のうち３匹を並べるから
４Ｐ３と書きます。　←全部の数Ｐ並べる数

計算方法は左の数の４からスタートし、１ずつ減らしながら３つの数(右の数が３だから)をかけてください。
４Ｐ３＝４×３×２＝24(通り)になります。

この計算の意味も説明しておきましょう。
[○□△]のように並ぶ写真を考えると、
○に並べる動物　４通り　←どの動物でもよい
□に並べる動物　３通り　←○に並べた１匹が減るから
△に並べる動物　２通り　←さらに□に並べた１匹が減るから
これらをかけ算して、全部で４×３×２＝24(通り) と計算できるわけです。講座11でも触れた積の法則というかけ算ですね。
24通りすべてを示すのは大変なので、○に並べる動物がの6通りだけ示しておきます。○に並べる動物がややの場合も同じように６通りずつになりますね。(６×４＝24)

○    □    △

メモ　４匹すべてを並べるなら４P４で４×３×２×１＝24ですね。これは４！(４の階乗)という書き方もします。４P３と４P４の答えが変わらないのは、３匹並べると４匹目は残された１匹に決まるからです。

＜掃除当番はＣｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ 組合せ＞

この問題は最初の記念撮影の問題とは大きな違いがあります。それは掃除当番を選ぶ場合は並べる順番に意味がないという点です。
たとえばとは記念撮影の並び方としては区別する必要がありますが(順番が違えば違う写真)、同じメンバー構成だから、掃除当番を選ぶときには区別しませんよね？
掃除当番のように、選ぶことだけが目的で、並べる順番を考える必要のない場合を組合せといいます。

式は５Ｃ３と書きます。　←全部の数Ｃ選ぶ数
計算方法は(ＣをＰにかえて計算した積)を(Ｃの右の数を１ずつ減らして１までかけた積)で割ります。

５Ｃ３
＝(５Ｐ３)÷(３×２×１)
＝(５×４×３)÷(３×２×１)
＝60÷６＝10(通り)
５×４×３を分子、３×２×１を分母に書いて約分すると簡単ですよ！

組合せの計算で割り算を行う理由ですが、５Ｐ３で求める60通りの中には、選び方としては区別されないものが６通り(＝３×２×１)ずつ重複しているからです。

メモ　５Ｐ３で求める60通りは、下のような同じ選び方を６通りずつ数えています。
　　
　　

みなさん、順列Ｐの計算と組合せＣの計算方法を理解していただけたでしょうか？
場合の数の分野はとても奥が深く、難しい問題もたくさんあります。今回の２人のスターを知ることは、まだ場合の数の入り口に過ぎませんが、基礎としてとても大切な内容です。これは僕からのアドバイスですが、１の跳び箱の上に３の跳び箱は乗りません。無理に乗せても不安定でグラグラします。いつ落ちちゃうかわかりゃしない。算数でも基礎を大切にしっかり積み上げていかないと、あとになってガタガタと崩れてしまうのです。今回の内容はまさに基礎ですが、いつまでも頭の中で大切にしてくださいね。そうじゃないと僕が動物の画像を用意した意味がありませんから。これは冗談(*^^)

では、最後にもう一度繰り返して今回の講座を終わることにします。

順列Ｐ　並べる順番にも意味がある
組合せＣ　選ぶことが目的(並べる順番は考えない)