Newみんなの算数講座46 辞書的順序のススメ

みなさんこんにちは。ニューみん算46回目の講座です。

今回はですね～。算数にもマナーがある！というお話をしましょう。どういうマナーかというと、場合の数の問題を考えるときの数え上げのマナーです。場合の数ではいろいろなパターンがありますよね？ それを調べるとき、思いついた順に好き勝手に挙げていても高い正解率はおぼつかないと思います。場合の数の正解率を上げるために、ぜひ今回の講座で数え上げのマナーを身につけてくださいね。

みなさんの家に国語辞典ありますよね？ あの国語辞典で言葉が出てくる順番を知ってますか？ そうそう、あ・い・う・え・お・か・き・く・け・こ……の五十音順です。まず単語の一番上のひらがなが五十音順。それが同じなら二番目のひらがなが五十音順です。以下、二番目も同じなら三番目、三番目も同じなら四番目の五十音順です。それがどうしたかって？ 今回のテーマにそのことが大いに関係あるのです。先に問題を出しちゃいますね。たとえばこんな問題。

場合の数でよく出そうな問題ですよね。この問題の解答を簡単な計算ですぐに求めることはできるでしょうか？
ノーです。使える数字が０から５までに限られてますし、３の倍数という条件も加わってますから、答えをすぐに出す公式などはありません。こうした問題にはどうしても調べる作業が必要になるのですが、人間とは案外そそっかしいもので、何のルールもなしに調べようとしてもモレやダブりが生じてしまいがちです。たまたまうまくいくことはあるでしょうが、最初にも書いた正答率という意味では行き当たりばったりの調べ方はできるだけ避けたいところです。

そこで、場合の数のパターンを調べるときにいつも守るルールを決めておこう！というのが今回の講座のテーマです。タイトルに使った辞書的順序(じしょてきじゅんじょ)という言葉を覚えてください。この言葉の意味は、場合の数でパターンを調べるときは国語辞典の順番をマネをしよう！ということです。

次のルールを読んでください。

意味わかりますか？ 場合の数でパターンを調べるとき、１が出せるなら１を先に出す→１が出せなくなったら２を出す→２が出せなくなったら３を出す……

国語辞典で「あ」が「い」より先に出て、「い」が「う」より先に出るのと同じ要領ですね。１が「あ」、２が「い」、３が「う」。そんな感じです。０が使えるなら０が最優先ですよ。

では上で出した問題を解いてみますね。

３の倍数には各位の数字の和が３の倍数という性質があります。(講座６参照)

この性質を利用して０、１、２、３、４、５のカードから、和が３の倍数になるような３枚のカードの組合せを考えます。たとえば１、２、３を選べば和が６になり３の倍数が作れます。しかし思いついた順番に挙げていくのはよくありません。思いついた順番では、見つけられるパターンもあるでしょうが、気づかずに抜かしてしまうパターンがあっても全然不思議ないです。そこで辞書的順序のルールが大切になるのです！

３つの数字を入れる箱を□□□として説明しますね。
これから３つの数字の和が３の倍数になるパターンを辞書的順序で挙げていきますが、123と231のように順番だけちがうものはひとつとして数えます。この理由はあとで書きます。

手順①　□を辞書的順序最優先の０にします。
・□を１にします。そして３つの数字の和が３の倍数になるように□にあてはまる数を考えます。次の２つのパターンが発見できます。
パターンＡ　０１２　(和が３)
パターンＢ　０１５　(和が６)

・□を２にします。３つの数字の和が３の倍数になるように□にあてはまる数を考えると次のパターンが発見できます。
パターンＣ　０２４　(和が６)
＊０２１はパターンＡの０１２と順番がちがうだけだから不可です。この段階のパターン調べでは右の数字が左の数字より小さくなるものは選ばないでください(理由後述)

・□を３にしたときは新しいパターンがありません。

・□を４にします。次のパターンが発見できます。
パターンＤ　０４５　(和が９)

・これ以上□を増やせないから手順①は以上です。

手順②　□を０の次に優先度が高い１にします。
・□を２にします。次のパターンが発見できます。
パターンＥ　１２３　(和が６)

・□を３にします。次のパターンが発見できます。
パターンＦ　１３５　(和が９)

・手順②は以上です。

手順③　□を２にします。
・□を３にしたとき次のパターンが発見できます。
パターンＧ　２３４　(和が９)

手順④　□を３にします。
・□を４にしたとき次のパターンが発見できます。
パターンＨ　３４５　(和が12)

手順終了　□を４以上にするとうまくいくパターンがありません。パターン調べは以上です。

このように和が３の倍数になる３枚のカードの組合せを、パターンＡからパターンＨまで調べ上げることができました。辞書的順序を守って調べたからモレやダブりはありません。□は０から順に！ その段落の中でも□は小さい方から！ 辞書的順序の感覚をつかんでいただけましたか？

さて、問題の解答ということになりますと、パターンＡからパターンＨについて、数字の並び替えが何通りあるか？を考えなくてはなりません。このことを最後にまとめて考える予定で、上のパターン調べでは１２３と２３１のように順番だけちがうものは区別しなかったのです。また、０１２では３ケタの整数にならないと考えた人がいるかもしれませんが、並び替えれば１２０のように３ケタの整数になります。だからパターン調べでは０１２もしっかりと候補です。まずは数字の組み合わせだけを考え、あとから並び替えを考える！ それがこうした問題の鉄則ですね。

パターンＡ～Ｄは３つの数字のなかに０をふくんでいるから、それぞれ４通りの並び替えができます。パターンＡを例にとれば 102、120、201、210 の４通りです。
パターンＥ～Ｈは３つの数字のなかに０がないから、それぞれ６通りの並び替えができます。パターンＥを例にとれば 123、132、213、231、312、321 の６通りです。
パターンＡ～Ｄで４通りずつ、パターンＥ～Ｈで６通りずつの並び替えがあるから、３枚のカードを使って作れる３の倍数は全部で４×４＋６×４＝16＋24＝40通りです。

お疲れさまでした。答えが出せましたね。最後にもう一度まとめておきますよ。今回のような問題では、まず最初に辞書的順序を守って組合せのパターンを調べ、そのあとでそれぞれのパターンの並び替えを考えましょう。並び替えを検討する後半も大事なのですが、それ以前にモレやダブりがないよう組合せを上手に見つけなくては元も子もないです。一番良くないのはやみくもに挙げることですね。40通りもある解答をやみくもに挙げて正解したら偶然の産物じゃないかな。辞書的順序のススメを忘れないようにしてくださいね。
それではみなさん、また次の講座で元気にお目にかかりましょう！

カーテンコール
０から５までの６枚のカードを使って３ケタの整数を作ると、全部で５×５×４＝100通りの整数が作れます。任意に整数を抽出すると、３の倍数は３分の１の割合で存在するはずですが、解答の40通りは100通りの３分の１を超えています。不思議な感じがしますが、このことからも 解答をすぐに求める簡単な公式はなく、辞書的順序に沿ったていねいな調べが必要なことをおわかりいただけるかと思います。