Newみんなの算数講座67 百五減算

みなさん、こんにちは。

今回のニューみん算講座67はむかし書いた元祖講座の改訂ではなく、こちらのサイトで新しく書いた講座です。内容は前回予告していた百五減算(ひゃくごげんざん)です。百五減算とは、古代中国の南北朝時代(西暦439年～589年)に書かれた算術書・孫子算経(そんしさんけい)に載っていた整数問題で、中国では中国式剰余定理と呼ばれ、百五ずつ減らすという解き方を表した和名が百五減算です。

「こんな素晴らしい考え方が千五百年も前からあったのか!?!?」という驚きを隠せない先人の見事な知恵ですが、正直この内容を説明するのはとても難しいです。インターネットや書籍でも時折紹介されてますが、僕が読んでもスッキリしない説明が多いです。話せばそうでもないけど文章での説明が大変なんですよ百五減算って(*´з`)
でも先人の見事な知恵をひとりでも多くのみなさんにお伝えできるよう、一生懸命書いてみますね。ややこしいことは初めに断っておきます。もの足りない説明になるかもしれませんが、そこはみなさんの気合いでカバーしてくださいね。しっかり理解できたときの快感は他の問題に勝るのではないかと思います。では百五減算の問題を出しますね。

問題はとてもシンプルです。百五減算というのは、３で割ったときの余り、５で割ったときの余り、７で割ったときの余りからもとの整数を求める問題のことなんです。
３と５と７の最小公倍数は？ そうそう105ですよね。百五減算の百五は３と５と７の最小公倍数の105のことです。この105の使い方については解説の中で書きます。

まずは先に答えを出してしまいましょう。解説のために「３で割ると１余る」をア、「５で割ると３余る」をイ、「７で割ると２余る」をウとしますね。以下の手順①～⑤がまさに百五減算です。

手順①
アを満たし、５と７(ア以外の割る数)で割ると割り切れる数を探します。
いくつもありますが最小の数でよいです。
５と７で割り切れる最小の数は35です。しかし35÷３＝11…２だからアを満たしません。
５と７で割り切れる二番目に小さい数は70です。70÷３＝23…１。これはアを満たしています。
アを満たし、５と７で割り切れる数は70です。

手順②
イを満たし、３と７(イ以外の割る数)で割ると割り切れる数を探します。
３と７で割り切れる最小の数は21です。しかし21÷５＝４…１だからイを満たしません。
３と７で割り切れる二番目に小さい数は42です。42÷５＝８…２。これもイを満たしません。
３と７で割り切れる三番目に小さい数は63です。63÷５＝12…３。これはイを満たしています。
イを満たし、３と７で割り切れる数は63です。

手順③
ウを満たし、３と５(ウ以外の割る数)で割ると割り切れる数を探します。
３と５で割り切れる最小の数は15です。しかし15÷７＝２…１だからウを満たしません。
３と５で割り切れる二番目に小さい数は30です。30÷７＝４…２。これはウを満たしています。
ウを満たし、３と５で割り切れる数は30です。

手順④
手順①～③で求めた３つの数をたします。
70＋63＋30＝163
この163はア、イ、ウの条件をどれも満たしています。ただしこれが最小ではなく、まだ解答ではありません。

手順⑤
手順④で求めた整数から105を引けるだけ引いた数がこの問題の解答です。
163－105＝58
これ以上105を引くことはできないからこの問題の解答は58です。
確かめてみましょうか。
ア　58÷３＝19…１　ok
イ　58÷５＝11…３　ok
ウ　58÷７＝８…２　ok
どの条件もちゃんと満たしてますね。無事に解答は出てきました！

解答は無事に出ましたけど、まだ出し方の手順を示しただけですからね。ではここからいま行った手順の意味について説明していきます。

手順①の70は３で割ると１余り、５と７で割ると割り切れる数です。
手順②の63は５で割ると３余り、３と７で割ると割り切れる数です。
手順③の30は７で割ると２余り、３と５で割ると割り切れる数です。
これらを加えた手順④の163は３で割ると１余り、５で割ると２余り、７で割ると３余る数のひとつです。

メモ　手順①～③は順不同で、どの順番で求めても大丈夫です。僕は割る数が３、５、７の順になるようにしました。

おそらく手順④で３つの数をたす意味がわかりにくいと思うのですが、
手順①の70が３で割ると１余る数だから、それに手順②の63と手順③の30を加えた163も３で割ると１余る数です。なぜなら63と30は３で割り切れる数だからです。

同様のことがあと二つ言えます。

手順②の63が５で割ると３余る数だから、それに手順①の70と手順③の30を加えた163も５で割ると３余る数です。なぜなら70と30は５で割り切れる数だからです。

手順③の30が７で割ると２余る数だから、それに手順①の70と手順②の63を加えた163も７で割ると２余る数です。なぜなら70も63も７で割り切れる数だからです。

上の３つの太線部をまとめてください。163は３で割ると１余り、５で割ると３余り、７で割ると２余る整数です。つまり手順①～③で求めた数をたすことで、ア、イ、ウの３つの条件をすべて満たす数ができています。

最後に手順⑤で105を引きました。このことの意味は、
105は３、５、７の最小公倍数だから、３つの条件ア、イ、ウをすべて満たす163に対し、105をいくつたしてもいくつ引いても３つの条件をすべて満たすことに変わりない
ということです。たとえば163＋105の268も条件をすべて満たしますし、163＋105×２の373も条件をすべて満たします。この問題は最小の整数を求める問題だから163から105を引いた58が正解になりました。

すべての条件にあてはまる数が一つ見つかると、あとは105ずつ引く(たす)ことで条件にあてはまる数が次々に見つかります。ここが百五減算の名前の由来ですね。割る数３、５、７は変わりませんが余りの部分は変わりますから、百五減算の解き方を次のように整理してまとめておこうと思います。

ふ～ぅ。みなさんにどれくらい伝えられたかはわからないですけど、がんばって古来からの先人の知恵、百五減算を解説してみました。算数の解説は足りなくても書き過ぎてもよくない。毎度のことながらそれを痛感します。みなさんの感想をコメントで残してもらえたら嬉しいです。

あ、もうひとつだけどうしても書きたいことが残ってました。
今回の問題を実戦的にはどう解けばよいのか？
この見方をするなら、百五減算より講座５で書いた解き方の方がよいと思います。「３で割ると１余る」「５で割ると３余る」このふたつは差がそろっているサリーですよね？ サリーでいくつかの数を見つけ、その中から「７で割ると２余る」数を見つけるのが一番早いでしょう。百五減算は実戦で使うより、じっくり読んで理解しておくことが整数問題で役立つ頭のビタミンになるという感じでしょうね。サリーってなんのこと？という人はぜひ講座５をご覧ください。脱線しますが講座５はむかしから一番人気があるんですよね。こちらのサイトに引っ越したあとも講座１と講座５の閲覧数がずば抜けてます。もう少ししたら人気順でも発表しましょうかね(*^^)

では今回の講座67はここまでにします。次回の講座68は数表シリーズ③を予定しています。そのときにまた元気でお目にかかりましょう。それじゃあまた～！