Newみんなの算数講座61 ２点が動いて面積が変化して

みなさんこんにちは。お元気でお過ごしでしょうか。

前回方針を思案中と言っていた今回の講座61ですが、むかし書いた点の移動の講座を修理して残すことにしました。内容的にはテストによく出そうな良問ですよ。それにしてもむかし書いた講座は算数に関係ないおしゃべりが多くて修理に手間取りました。好きな番組の主題歌をyoutubeで貼っていたのは自分で読み返しておかしくなってしまいました。こちらの改訂ニュー講座は純粋に算数メインで書いていきたいから、おしゃべりはなるべく減らそうと思ってるんです。全然ないと冷たい感じになってしまうからたまには脱線させますけどね(*^^)

…というわけで、新作を書く倍ぐらい修理に時間がかかった講座61です。いつものように問題を出して始めることにしますね。いろいろ話がしたくて設問を作ってたら(5)までになってしまいました。大変かもしれませんが最後までがんばって読んで理解してくださいね。

(1)
速いのは点Ｐです。おそらく正解率100％？ しかし理由は問題図で点Ｐが点Ｑより右に書いてあるからではないですよ？ 点Ｑは頂点Ｃに着くと折り返しますから、図の状況は先に頂点Ｃに着いた点Ｑが折り返したあとかもしれません。では点Ｐの方が速い正しい理由は？
問題文に「グラフは点Ｑが一往復を終えるまで」と書いてあります。点Ｑは往復に30秒かかっているから片道15秒です。ではその前の10秒のときになぜグラフが変化するのでしょうか？ そうそう、10秒のときに点Ｐが頂点Ｄに着いたからですね。片道10秒の点Ｐと片道15秒の点Ｑ。速いのは当然点Ｐです。

(2)
片道を点Ｐは10秒、点Ｑは15秒かかります。距離が等しいとき、速さの比と時間の比は逆比になるから、点Ｐと点Ｑの速さの比は時間の比(10：15＝２：３)を逆にして３：２が正解です。

続く設問を処理するために、グラフが変化するところにア～エの記号をつけてみました。それぞれのところで何が起きたかを考えてみます。

★グラフのアで起きたこと（10秒後）
点Ｐが頂点Ｄに到着しました。そのとき点ＱはＢＣ上のＢから2/3の地点でＣに向かっています。(点Ｐと点Ｑの速さの比は３：２)

★グラフのイで起きたこと（15秒後）
点Ｑが頂点Ｃに到着しました。点Ｐはすでに片道を終えて折り返し、ＤＡ上の中間点でＡに向かっています。
〈中間点の理由〉点Ｐの速さは点Ｑの速さの1.5倍(３÷２＝1.5)だから、点Ｑが片道を進めば点Ｐは片道の1.5倍を進みます。つまり点Ｐは片道を終えたあと、帰り道を半分進んでいます。

(3)
15秒後の図形Ｓの面積は長方形ＡＢＣＤの面積の3/4です。このときの図形Ｓの面積が36cm²だから、逆算して長方形ＡＢＣＤの面積は36÷3/4＝48cm²です。

(4-1回目)
図形Ｓが長方形になるのは点Ｐの真下に点Ｑがくるときです。その１回目が10秒後と15秒後の間にあります。10秒後に点Ｐが頂点Ｄを折り返すと、点Ｐと点Ｑは向き合って進むことになり、両者の速さの比は３：２だから、下の図のように点Ｐが３マス、点Ｑが２マス進んで点Ｐの真下に点Ｑがきます。
点Ｑは５マス進むのに５秒(10秒後から15秒後まで)かかるから、２マス進むのには２秒かかり、点Ｐの真下に点Ｑがくるのは10＋２＝12(秒後)とわかります。

続いてグラフのウで起きたことを考えます。

★グラフのウで起きたこと（20秒後）
点Ｐが一往復を終えて点Ａに戻りました。点Ｑはすでに折り返しを終え、Ｃから1/3の地点でＢに向かっています。
〈点Ｑの位置〉点Ｑの速さは点Ｐの速さの2/3倍だから、点Ｐが片道を２回(往復)ぶん進むと、点Ｑは片道の２回×2/3＝4/3回＝１と1/3回ぶん進みます。つまり点Ｑは片道を終えたあと、帰り道を1/3だけ進んでいます。

(4-2回目)
このあとに点Ｐの真下に点Ｑがきて、図形Ｓが長方形になる２回目があります。20秒後に点Ｐが頂点Ａを折り返すと、点Ｐと点Ｑは向き合って進むことになり、さきほどと同様に点Ｐが３マス、点Ｑが２マス進んで点Ｐの真下に点Ｑがきます。点Ｑは５マス進むのに10秒かかるから、２マス進むのには10×2/5＝４秒かかり、点Ｐの真下に点Ｑがくる２回目は20＋４＝24(秒後)とわかります。

(5-1回目)
ＰＱが長方形ＡＢＣＤの面積を二等分するのは、下の図のようにＰＱが長方形の対角線の交点を通るときです。この性質は長方形や平行四辺形の二等分でよく使うので覚えておいてください。点Ｐが進んだ距離と点Ｑが進んだ距離は３：２で、点Ｐは５進むのに10秒かかるから、３進むのには10×3/5＝６秒かかります。１回目の解答は６秒後です。
＊ＰＱが長方形ＡＢＣＤの対角線の交点を通ると、図形Ｓ(台形ＡＢＱＰ)と台形ＰＱＣＤが上下を逆にした合同な図形になります。

(5-2回目)
ＰＱが長方形ＡＢＣＤの面積を２回目に二等分するのは、15秒後に点Ｑが頂点Ｃを折り返した少しあと、点Ｐが一往復を終える少し前です。点Ｐが進んだ距離と点Ｑが進んだ距離は３：２です。これらを合計した５の距離はちょうど片道の３回ぶんです。もし点Ｐが５の距離を進むと30秒かかります(理由／点Ｐは片道を進むのに10秒。片道３回ぶんなら30秒)。実際に点Ｐが進んだ距離はその3/5倍だから、30秒×3/5＝18秒より２回目の解答は18秒後です。

メモ　30秒後に点Ｑが一往復を終えたとき、点Ｐは一往復と片道を進んでいて、じつはこのときにもＰＱが長方形ＡＢＣＤの面積を二等分します。これを除外するために(5)の条件を点Ｑが一往復を終えるまで(20秒後まで)としました。

ふ～ぅ。解説は以上です。書いていてくたびれました。みなさんも読んでいてくたびれたのではないでしょうか(*´з`) おそらくこうした問題はパソコンやモバイルでながめているだけですべて理解するのは厳しいでしょうから、ぜひカラー印刷が可能な環境で印刷し、ノートや白い紙に自分でも鉛筆を動かしながらじっくり読み直してもらえると理解がはかどると思います。それはこの講座に限らず、すべての講座にあてはまることかもしれませんね。お部屋でカラー印刷ができない場合は、会社ですとか、今はコンビニなどでもネットプリントといったサービスがありますから調べて使ってみるとよいと思います。
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また、これは宣伝ですが一枚一枚カラー印刷してると手間がかかりますからね。僕の事務所で全講座をカラー印刷したものを販売してますから、もしよかったらこちらもご検討くださいね。102講座ぶんドカッと届けますよ(^^♪
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では講座61はこれで終わりにします。今回は宿題ありません。次回の講座は水ではなくて空気を見ようという体積の話ですね。楽しみに待っていてください。それじゃあまた～！

カーテンコール
最後に脱線。むかし書いた元祖講座61に貼っていた北の国からの主題歌です。この新サイトになってまだ一度もyoutubeを貼ってないから練習です。いや本当は懐かしくて残しておきたくなりました。youtubeだいぶ大きく出るんだなあ。サイズ変えても小さくなりません。勉強しますね。しかしいつ聴いてもいやされますね～(*^^*)