Newみんなの算数講座11 場合分けのコツをつかもう！

「……となる場合は何通りありますか？」
このようにパターンの数を求める分野を算数では場合の数と呼んでいます。数学では個数の処理という別名もあるようですが、市民権を得ているのは場合の数の方でしょうね。

(Ｂ)のほうが手間も時間もかかるのは言うまでもありません。苦手な人が多いのもテストで差がつくのも(Ｂ)でしょうね。しかし(Ｂ)こそが場合の数の醍醐味といえるのです。(Ａ)ばかりで終わってしまったらおもしろくないですよね。

では問題を出して解説しますね。最初はカードを並べる問題です。

カード並べの基本問題です。
上位の位から考えると、
千の位→４通り（どのカードを選んでもよい）
百の位→３通り（千の位で使った１枚が減るから）
十の位→２通り（さらに百の位で使った１枚が減るから）
一の位→１通り（さらに十の位で使った１枚が減るから）
よって、４×３×２×１＝24通り

一度の計算で答えが出せます。まさに(Ａ)ですね。このかけ算のことを場合の数の積の法則と言いますが、その名前はあまり気にしなくてもよいので、かけ算する感覚を大切にしてください。

前の問題とは少しアプローチがちがいます。「０が含まれている」ことと「偶数という限定条件がある」からです。このような条件があるときは、一度の計算だけで答えを出すことはできません。(Ｂ)の場合分けが必要になります。

偶数だから一の位は０または２です。その２つのパターンに場合分けします。

くわしく　一の位が０のときと２のときではパターン数がちがうのです。そのため、一度の計算でまとめることができません。

〈一の位が０である偶数　□□□０〉
上位の位から考えて、
千の位→３通り（一の位に固定された０を除くから）
百の位→２通り（千の位で使った１枚が減るから）
十の位→１通り（百の位で使った１枚が減るから）
３×２×１＝６（通り）←一の位が０の偶数は６通り

〈一の位が２である偶数　□□□２〉
上位の位から考えて、
千の位→２通り（一の位に固定された２と、千の位に使えない０を除くから）
百の位→２通り（千の位で使った１枚が減るが、０が使えるから千の位と同じ２通り）
十の位→１通り（百の位で使った１枚が減るから）
２×２×１＝４（通り）　←一の位が２の偶数は４通り

こうして場合分けしたパターン数を合計して、
４けたの偶数は全部で６＋４＝10通りです。←答え

場合分けをしたときは、それぞれの結果をたして最終的な答えとします。場合の数の和の法則といいますが、この感覚も大切に！

次は色の塗り分け問題です。

この問題は、場合分けの感覚を身につけるためにとてもよい問題です。しっかりと読んでいただき、場合分けの感覚を養ってほしいと思います。

問題の条件に「５色すべてを使う必要はない」とあります。つまり、５色すべて使ってもよいし、それ以下の４色や３色で済ませてもいいということです。２色では不可能ですね。

そこで５色使う場合、４色使う場合、３色使う場合に場合分けします。

〈ケース１〉５色で塗り分ける
これはとても簡単です。最初のカード並べの問題と同じように、
アにぬる色　５通り
イにぬる色　４通り（アに塗った１色が減るから）
ウにぬる色　３通り（さらにイに塗った１色が減るから）
エにぬる色　２通り（さらにウに塗った１色が減るから）
オにぬる色　１通り
よって、５色で塗り分ける方法は
５×４×３×２×１＝120通りです。

〈ケース２〉４色で塗り分ける
４色の場合はどこかを同じ色にする必要があります。同じ色にするのは
①アとオを同じ色にする
②イとエを同じ色にする
の２通りです。これは区画がとなり合っているから同じ色にできません。

同じ色にするのが①、②のどちらかに決まれば、４色の塗り方が
４×３×２×１＝24通りずつあります。

メモ　同じ色になる場所は気にする必要がないでしょうね。
①４色を塗る場所はア、イ、ウ、エ〈オはアと同じだから気にしない〉
②４色を塗る場所はア、イ、ウ、オ〈エはイと同じだから気にしない〉
と考えてください。

そしてもう一点、４色の場合は塗るときに使う色の選び方を考えなくてはなりません。５色から４色を選ぶ方法は５通りです。

くわしく　５色から４色を選ぶことは、使わない１色を選ぶことと同じ。(赤を使わない)(青を使わない)(黄を使わない)(緑を使わない)(オレンジを使わない)の５通り。

以上のことから、４色で塗り分ける方法は、
・４色の塗り方…24通り
・同じ色にする場所を①、②のどちらにするか…２通り
・４色の選び方…５通り
のかけ算となり、24×２×５＝240通りです。

〈ケース３〉３色で塗り分ける
３色の場合はアとオ、イとエをどちらも同じ色にするしかありません。３色の場合は同じ色にする場所のパターンは他にありません。３色を塗る場所はア、イ、ウです。(エとオは同じ色にするから気にしないでよいです)

ア、イ、ウに３色を塗る方法は３×２×１＝６通りです。

そして塗るときに使う３色の選び方を考えると、５色の中から３色を選ぶ組合せで
５Ｃ３＝５Ｃ２＝10通りです。

メモ　異なる□個のなかから△個を選ぶ組合せの計算方法は算数の必須知識です。近々その内容の講座を書く予定です。

３色で塗り分ける方法は、
・３色の塗り方…６通り
・３色の選び方…10通り
のかけ算となり、６×10＝60通りです。

以上のことから、サンスーン国の国旗を塗り分ける方法は、
〈ケース１〉　120通り
〈ケース２〉　240通り
〈ケース３〉　60通り
をたし算して420通りとなります。

今回の内容はいかがでしたか？
場合の数には、簡単な計算で寄り切れるとき(Ａ)と、場合分けの作業が必要になるとき(Ｂ)があります。おそらくみなさんが気にされるのは、(Ａ)(Ｂ)の使い分けだと思いますが、僕からのアドバイスとしては、基本はなるべく(Ｂ)の方針で考えるのがよいと思います。そしていろいろ経験していくうちに、この部分は簡単は計算がきくということを感じ取ってほしいですね。

このケースはこう、このケースはこう、このケースはこう、……
そうやって場合分けをして、最後にすべてのパターンを合計する

これが場合の数の問題を解くときの王道です。逆に言うと簡単な計算で済むところがラッキーなんですよね。場合の数はとても奥が深いから、また他の機会にも取り上げてみたいと思います。では次回までごきげんよう！