Newみんなの算数講座39 ダブりを消すための両替

みなさんこんにちは。講座39を書きにやってきました。今回は場合の数を取り上げようと思います。講座スタートから何講座か書いたジャンルですが、しばらく間があいて場合の数は講座14以来かな。トップページの右下にタグ一覧という表示があって、そこで講座の内容をおおまかに分類しています。いくつかのジャンルにまたがる講座も多く、厳密な分類は難しいのですが参考にはなると思います。タグ一覧チェックしてみてくださいね。

場合の数にはさまざまな問題がありますが、今回考える問題は与えられた硬貨によって作ることができる金額のパターンです。そっくりに見える問題に同じ解き方が通用しないという悩ましさ(面白さ？)があります。順番に説明しますから区別できるようにしてくださいね。

ではさっそく１問目いきましょう。

買い物ができる金額のパターンは次のように求めるのがよいと思います。

硬貨別に使い方を考えます。
500円玉は１枚だから、「使わない」か「使う」かの２通りです。
100円玉は３枚あるから、「使わない」「１枚使う」「２枚使う」「３枚使う」の４通りです。
10円玉は５枚だから、「使わない」「１枚使う」「２枚使う」「３枚使う」「４枚使う」「５枚使う」の６通りです。
大事なポイントは、どの硬貨も「使わない」という使い方を考慮して「＋１」をするところですね。

あとは場合の数の積の法則を使ってこれらをかけ算します。
500円玉の使い方２通りに対して、100円玉の使い方がそれぞれ４通りずつあり、この時点で２×４＝８通り。その８通りすべてに対して10円玉の使い方が６通りずつあるから、硬貨の組み合わせ方は全部で８×６＝48(通り)です。もちろん２×４×６＝48(通り)のようにまとめてかけ算してかまいません。

ところが！
この48通りはまだ答えではありません。１を引いた47通りが正解です。その理由は、48通りの中にはどの硬貨も使わない合計０円という１通りがふくまれているからです。買い物できる金額として０円は変ですよね。この「－１」をウッカリする人がとても多いので気をつけてくださいね。

この問題は講座37の転ばぬ先の杖テストにも出しました。そのときも最後のウッカリしやすい点にはふれましたね。今回は解き方について少しくわしく解説しました。どの硬貨にも１をたしてから積の法則でかけ算！です。

理解できましたか？ では２問目を出しますね。

さっきと一緒？ やはりそう見えるでしょう？ じつは微妙にちがうのです。何がちがうかわかりますか？
え～と問題２では、問題１と違って、同じ金額が作れてしまう硬貨があるんです。100円玉１枚と50円玉２枚ではどちらも同じ100円になるでしょう？ その重複が邪魔をして、さっきと同じ方法ではうまくいかないのです。じゃあどうするかって？ うまい方法があるのですが、その前に少し強引な方法で答えを出してみましょう。

強引な解き方
同じ金額を作れる硬貨があるので、硬貨を使う枚数ではなく、買い物金額に直接注目します。一番安い買い物は10円玉１枚だけの10円、一番高い買い物は全部の硬貨を使った430円です。この範囲を次のように百の位で分類して調べてみます。

・百の位がない買い物金額（□０円のような金額）
10円～90円の９通りのうち、10円玉が３枚しかないから40円と90円が作れません。
10円　20円　30円　40円　50円　60円　70円　80円　90円
７通り

・百の位が１の買い物金額（１□０円のような金額）
100円～190円の10通りうち、140円と190円が作れません。
100円　110円　120円　130円　140円　150円　160円　170円　180円　190円
８通り

・百の位が２の買い物金額（２□０円のような金額）
百の位が１の買い物金額と同様です　８通り

・百の位が３の買い物金額（３□０円のような金額）
百の位が１の買い物金額と同様です　８通り

・百の位が４の買い物金額（４□０円のような金額）
硬貨を全部使った430円が最高です。
400円　410円　420円　430円　４通り

これらをすべて合計して、問題２の答えは７＋８＋８＋８＋４＝35通りです。

この解き方は、すべてを網羅(もうら)するという意味で安心はできますが、やはりちょっと強引と言わざるを得ないでしょう。硬貨の枚数が増えると作業が大変になってしまいますよね。本当は問題２も簡単な計算で解決できるのです。では賢い解き方を紹介しますね。

賢い解き方
別の硬貨で同じ金額ができてしまうことを避けるために、100円玉３枚を50円玉６枚に両替してしまいます。すると問題２は次のように直すことができます。

このように直してみると、これはもう問題１と同じですよね。いや、硬貨が２種類だから問題１よりもっと単純です。
50円玉の使い方が使わないをふくめて９通り。10円玉の使い方が使わないをふくめて４通りです。
(８＋１)×(３＋１)＝９×４＝36
そしてどちらも使わない１通りを引いて35通りですね。無事にさきほど強引に網羅した解答と同じになりましたね。

結局ね。100円玉を50円玉に両替して考えた９通りというのは、100円玉３枚と50円玉２枚を使って作れる50円単位の金額のパターンなのです。(どちらも使わない０円をふくむ)
０円　50円　100円　150円　200円　250円　300円　350円　400円
数えてみてください。９通りでしょう？ このようにすることで100円玉１枚と50円玉２枚が同じ金額になってしまうことを気にしなくて済むようになるのです。あとはこの９通りのそれぞれに対して10円玉の使い方が４通りずつあるから９×４という計算になりますね。

今回の講座の内容はいかがでしたでしょうか？
一見同じに見える問題でも、枚数の関係によって別の硬貨で同じ金額が作れるか(問題２)作れないか(問題１)というちがいがあり、作れる場合にそのまま積の法則を使うと答えが重複して多くなってしまうのです。その場合は両替して重複が起きないようにする必要があります。いきなり積の法則が使える問題１と、両替してから積の法則を使う問題２のちがいをしっかり確認してくださいね。
では今回の講座はこれで終わりにします。次はキリよく講座40ですね。楽しみに待っていてください。それじゃあまた！

カーテンコール
本文に書くと混乱する人が出そうだったのでこちらに書きます。両替にも注意が必要で、たとえば問題２を10円玉43枚に両替することはできないです。なぜなら全部10円玉にしてしまうと、□40円など作れなかった金額まで作れるようになってしまうからです。それぞれの硬貨の枚数を変えて、強引作戦と計算式を比べてみるとさらに理解が進むと思います。